压缩映射原理

压缩映射

压缩映射

这题有点难啊，＜1有点无从下手，有界性不知道怎么用，想不出来

不能直接压缩映射来着，除非导函数绝对值上确界严格小于一，不过思路应该是一样

为啥不直接作差求导然后单调递减然后完了

不用有界性的证明过程肯定有问题的
不可能压缩映射直接证的。
我举一个例子：f=x+1/x，x>0.8时
满足导数严格小于1。
初值取1，相应的数列就是发散的。

不能压缩的原理在于:＜1和＜k（k为＜1的常数），这两个不是一个东西。eg:y=x+1+1/x 这个函数导函数＜1，但很显然无极限。

由f(x)有界且连续可知f有不动点,
由|f'(x)|<1知不动点唯一,设该不动点为m
情形①: 存在N,使得n>N时,x(n)始终落在m的同一侧,
由单调有界定理{x(n)-m}收敛⇒{x_n}收敛
情形②∀N>0,∃n1,n2>N使得x(n1)<m<x(n1+1),x(n2)>m>x(n2+1)
由单调有界定理{|m-x(n)|}收敛,
若其极限A>0
则易知f(m-A)=m+A,f(m+A)=m-A
但|f(m+A)-f(m-A)|<|(m+A)-(m-A)|
矛盾

@瑞霂泠晶 前几天你在 关于三阶导数的证明 4 楼说了 多项式拟合，今天，我们在这里用 正弦函数拟合，叫 “正弦函数拟合大法” 。

今年南开考了一个这个命题的推广。裴礼文上有这个命题更为一般的推广