取几何单位制G=c=1,先令(1-2M/r)=A,史瓦西度规表达为
(ds)²=-A(dt)²+A⁻¹(dr)²+r²(dθ)²+r²sin²θ(dφ)²
四速(ds/dτ)²=-A(dt/dτ)²+A⁻¹(dr/dτ)²+r²(dθ/dτ)²+r²sin²θ(dφ/dτ)² ①
根据四速归一化-(ds/dτ)²=η,类时η=1;类光η=0。
对于行星轨道面,规定极角θ=π/2,对于类时,
系统有两个常量:
A(dt/dτ)=E能量
r²(dφ/dτ)=L角动量
①式化为
-1=-A⁻¹E²+A⁻¹(dr/dτ)²+L²/r²
→ E²-A(L²/r²+1)=(dr/dτ)²=[(dr/dφ)(dφ/dτ)]²=(L²/r⁴)(dr/dφ)²
→ (dr/dφ)²=E²r⁴/L²-Ar²(1+r²/L²)②
令u=1/r,du=-1/r²dr→dr=-r²du
②式化为(du/dφ)²=E²/L²-A(u²+1/L²)
A=1-2M/r代回,
(du/dφ)²=E²/L²-u²+(2M)u³-1/L²+(2M/L²)u
对Φ求导d²u/dφ²=-u+M/L²+3Mu²
此为广义相对论下中心天体无旋转无电荷下行星轨道方程(M>>m)
(ds)²=-A(dt)²+A⁻¹(dr)²+r²(dθ)²+r²sin²θ(dφ)²
四速(ds/dτ)²=-A(dt/dτ)²+A⁻¹(dr/dτ)²+r²(dθ/dτ)²+r²sin²θ(dφ/dτ)² ①
根据四速归一化-(ds/dτ)²=η,类时η=1;类光η=0。
对于行星轨道面,规定极角θ=π/2,对于类时,
系统有两个常量:
A(dt/dτ)=E能量
r²(dφ/dτ)=L角动量
①式化为
-1=-A⁻¹E²+A⁻¹(dr/dτ)²+L²/r²
→ E²-A(L²/r²+1)=(dr/dτ)²=[(dr/dφ)(dφ/dτ)]²=(L²/r⁴)(dr/dφ)²
→ (dr/dφ)²=E²r⁴/L²-Ar²(1+r²/L²)②
令u=1/r,du=-1/r²dr→dr=-r²du
②式化为(du/dφ)²=E²/L²-A(u²+1/L²)
A=1-2M/r代回,
(du/dφ)²=E²/L²-u²+(2M)u³-1/L²+(2M/L²)u
对Φ求导d²u/dφ²=-u+M/L²+3Mu²
此为广义相对论下中心天体无旋转无电荷下行星轨道方程(M>>m)