8 楼 的 解法, 开 n 次方 ( 1 + 无穷小 + 无穷小 ) 到 开 n 次方 ( 1 ) , 舍去了 无穷小, 如果 是 乘 n 次方, 即 ( 1 + 无穷小 + 无穷小 ) ^ n , 这里 的 无穷小 是不能 舍去 的, 正如 e , 当然, 这里 的 情况 和 e 有点不同, 到底 无穷小 能不能 舍去, 需要一点证明 。
再来看看 开 n 次方, 即 开 n 次方 ( 1 + 无穷小 + 无穷小 ) , 实际上, 也 无所谓 舍去 无穷小, 因为 把 无穷小 换成 常数, 结果 也一样 。
在 数学吧 时不时 看到 “第一个重要极限” 、“第二个重要极限” 、“三个重要极限”, 零零碎碎 的, 前几天整理了一下, 大概是
第一个重要极限 : sin x / x , x -> 0
第二个重要极限 : ( 1 + 1 / n ) ^ n , n -> 无穷
第三个重要极限 : x ^ ( 1 / x ) , x -> 无穷
是这样吗 ?
巧了, 这三个 极限, 我 都 研究涉及 过, 见
《证明 夹逼定理 和 洛必达法则》
https://tieba.baidu.com/p/7574289087 《走一走 欧拉先生 走过 的 路》
https://tieba.baidu.com/p/7502453309 《( 1 / x ) ^ x , x -> 无穷 的 极限 是 什么 ?》
https://tieba.baidu.com/p/7605488293 另外, 为了让 本帖 的 讨论 完整丰富, 我 把 @ 小小泡泡飘飘 在 4 楼 6 楼 的 解法 贴出来,
4 楼
“
e^[ln(a^n+b^n+c^n)/n],洛一下=e^[(a^nlna+b^nlnb+c^nlnc)/(a^n+b^n+c^n)]=a/b/c里面最大那个
”
6 楼
“
更简单的,假定a最大,{(a^n)[1+(b^n+c^n)/a^n]}^(1/n),令(b^n+c^n)/a^n=x,原式=[(a^n)^(1/n)]•[(1+1/x)^x]^(1/nx),注意到[(1+1/x)^x]=e,1/nx=0,原式= (a^n)^(1/n)·e^0=a
”