两种方法求解高数吧的一道题

3 楼 被系统删除，已申请恢复 。

若 a > b , a > c ，
开 n 次方 ( a^n + b^n + c^n ) , n -> 无穷
= a * 开 n 次方 [ 1 + ( b / a ) ^ n + ( c / a ) ^ n ]
= a * 开 n 次方 ( 1 + 无穷小 + 无穷小 )
= a * 开 n 次方 ( 1 )
= a * 1
= a
不知 楼上 为什么 写 那么 多 ？

夹逼定理

不妨设a>b,a>c,根号内式子为S，则a^n<S<3a^n
同开n次根号仍然成立
lim n次根号下a^n=lim a=a
lim n次根号下3a^n=alim n次根号下3=a
所求为lim n次根号下S，lim内式子被两个极限为a的量夹逼，所以原式=a
其他情况同理。答案max(a,b,c)

抓大头

8 楼 的 解法， 开 n 次方 ( 1 + 无穷小 + 无穷小 ) 到 开 n 次方 ( 1 ) ， 舍去了 无穷小， 如果 是 乘 n 次方， 即 ( 1 + 无穷小 + 无穷小 ) ^ n ， 这里 的 无穷小 是不能 舍去 的， 正如 e ， 当然， 这里 的 情况 和 e 有点不同， 到底 无穷小 能不能 舍去， 需要一点证明 。
再来看看 开 n 次方， 即 开 n 次方 ( 1 + 无穷小 + 无穷小 ) ， 实际上， 也 无所谓 舍去 无穷小， 因为 把 无穷小 换成 常数， 结果 也一样 。
在 数学吧 时不时 看到 “第一个重要极限” 、“第二个重要极限” 、“三个重要极限”， 零零碎碎 的， 前几天整理了一下， 大概是
第一个重要极限 ： sin x / x , x -> 0
第二个重要极限 ： ( 1 + 1 / n ) ^ n , n -> 无穷
第三个重要极限 ： x ^ ( 1 / x ) , x -> 无穷
是这样吗 ？
巧了， 这三个 极限， 我 都 研究涉及 过， 见
《证明 夹逼定理 和 洛必达法则》 https://tieba.baidu.com/p/7574289087
《走一走 欧拉先生 走过 的 路》 https://tieba.baidu.com/p/7502453309
《( 1 / x ) ^ x , x -> 无穷 的 极限 是 什么 ？》 https://tieba.baidu.com/p/7605488293
另外， 为了让 本帖 的 讨论 完整丰富， 我 把 @ 小小泡泡飘飘 在 4 楼 6 楼 的 解法 贴出来，
4 楼
“
e^[ln(a^n+b^n+c^n)/n]，洛一下=e^[(a^nlna+b^nlnb+c^nlnc)/(a^n+b^n+c^n)]=a/b/c里面最大那个
”
6 楼
“
更简单的，假定a最大，{(a^n)[1+(b^n+c^n)/a^n]}^(1/n)，令(b^n+c^n)/a^n=x，原式=[(a^n)^(1/n)]•[(1+1/x)^x]^(1/nx)，注意到[(1+1/x)^x]=e，1/nx=0，原式= (a^n)^(1/n)·e^0=a
”

2021 年 9 月 做过的 一题 。 （滑稽）
图上看的可能不太清楚， 我 把 题目 再叙述一遍 。
已知 ： ∂ f / ∂ x = - f ( x , y )
f ( 0 , π / 2 ) = 1
lim [ f ( 0 , y + 1 / n ) / f ( 0 , y ) ] ^ n , n -> 无穷 = e ^ ( cot y )
求 ： f ( x , y ) = ？

18 楼 说
“
8 楼 的 解法， 开 n 次方 ( 1 + 无穷小 + 无穷小 ) 到 开 n 次方 ( 1 ) ， 舍去了 无穷小， 如果 是 乘 n 次方， 即 ( 1 + 无穷小 + 无穷小 ) ^ n ， 这里 的 无穷小 是不能 舍去 的， 正如 e ， 当然， 这里 的 情况 和 e 有点不同， 到底 无穷小 能不能 舍去， 需要一点证明 。
”
乘 n 次方 时， 这个 无穷小 到底 能不能 舍去 ？ 我 已经 想好证明了， 小朋友们， 你们 想好了 吗 ？