恳请求解

提示：
仅t为求解未知数。
其余基本上都是已知。
仅r_0是一个范围数，但也是一个确定范围0→r。
u则随r_0范围连续变化。

@K歌之王

重新发一个图片

没人可请教？

纠误！
刚刚回来，看看1楼，发现我补充提问有误，纠正如下：
1楼无意顺便说的失误：【期望哪位（无论反维相）能够再解答从C点以速度V-u→V的A点用时t'？】。
应该说：期望哪位（无论反维相）能够再解答从C点以速度V+u→V的A点用时t'？】。
而且图片不仅应该是V+u，还不少失误，纠正发图如下：

即此t’是从C到A的反向线速度，速度开始是增加的V+u,明显速度快于1楼V-u。

9楼图片r_0变化表示的箭头方向没纠正，重新发

@lzmsunny96
上面没有列数据是为了列出计算数学式的方便，用数据列计算式容易乱。
我设几个具体数据，请你按你的数学表达式计算一下结果，再看看和我的计算结果是不是差不多？
提示用时，从A到C用时不到1/5秒。
设：
V=3.0x10^8
U=3.0x10^4
R=1.5x10^11
r=3.6x10^7
a=2.0x10^30
b=5.965x10^24
L=5.3775x10^7
r_0：从0→3.6x10^7；如果用于10楼图片则从3.6x10^7→0 。

K歌之王先生，我把你的解答粘贴到这里来供大家参考，没关系吧？‘’先斩后奏‘’了。
设 从 A 运动 到 C 的 路程 为 s， r₀ = s * r / L
u = U * a r₀² / [ b ( R - r₀ ) ² ]
= U * a ( s * r / L ) ² / [ b ( R - s * r / L ) ² ]
= U * a ( s * r / L ) ² / [ b * ( r / L ) ² ( R L / r - s ) ² ]
= U a s ² / [ b ( R L / r - s ) ² ]
ds / dt = V - u
ds / dt = V - U a s ² / [ b ( R L / r - s ) ² ]
ds / dt = [ V b ( R L / r - s ) ² - U a s ² ] / [ b ( R L / r - s ) ² ]
[ b ( R L / r - s ) ² ] / [ V b ( R L / r - s ) ² - U a s ² ] ds = dt
两边积分
ʃ [ b ( R L / r - s ) ² ] / [ V b ( R L / r - s ) ² - U a s ² ] ds = ʃ dt
ʃ [ b ( R L / r - s ) ² ] / [ V b ( R L / r - s ) ² - U a s ² ] ds
= ……
过程 懒得写了， 实在太烦， 而且 容易 搞错， 简单 的 说一下 。
[ b ( R L / r - s ) ² ] / [ V b ( R L / r - s ) ² - U a s ² ] 分子分母 都 把 平方括号 展开 为 多项式， 再 配平方， 整理 可得 ʃ ( x ² + bx + c ) / ( x ² + a ) dx 这一类型 的 积分 。
ʃ ( x ² + bx + c ) / ( x ² + a ) dx
= ʃ x ² / ( x ² + a ) dx + ʃ bx / ( x ² + a ) dx + ʃ c / ( x ² + a ) dx
ʃ x ² / ( x ² + a ) dx
= ʃ ( x ² + a - a ) / ( x ² + a ) dx
= ʃ ( x ² + a ) / ( x ² + a ) dx - ʃ a / ( x ² + a ) dx
= ʃ dx - a ʃ 1 / ( x ² + a ) dx
= x - a ʃ 1 / ( x ² + a ) dx
ʃ 1 / ( x ² + a ) dx 有公式， 下面会推导 。
ʃ bx / ( x ² + a ) dx
= b ʃ x / ( x ² + a ) dx
= b ʃ 1/2 * 2 * x / ( x ² + a ) dx
= 1/2 * b ʃ 1 / ( x ² + a ) d ( x ² + a )
= 1/2 * b * ln | x ² + a |
ʃ c / ( x ² + a ) dx
= c ʃ 1 / ( x ² + a ) dx
ʃ 1 / ( x ² + a ) dx 分两种情况 ： ʃ 1 / ( x ² + a ) dx , a > 0 和 ʃ 1 / ( x ² - a ) dx , a > 0 。
先看 ʃ 1 / ( x ² - a ) dx , a > 0
ʃ 1 / ( x ² - a ) dx , a > 0
= 1 / a * ʃ 1 / { [ x / 根号 ( a ) ] ² - 1 } dx
= 1 / a * 根号 ( a ) * 1 / 根号 ( a ) * ʃ 1 / { [ x / 根号 ( a ) ] ² - 1 } dx
= 1 / a * 根号 ( a ) * ʃ 1 / { [ x / 根号 ( a ) ] ² - 1 } * 1 / 根号 ( a ) dx
= 1 / 根号 ( a ) * ʃ 1 / { [ x / 根号 ( a ) ] ² - 1 } * 1 / 根号 ( a ) dx
= 1 / 根号 ( a ) * ʃ 1 / { [ x / 根号 ( a ) ] ² - 1 } d [ x / 根号 ( a ) ]
设 u = x / 根号 ( a )
= 1 / 根号 ( a ) * ʃ 1 / ( u ² - 1 ) du (1) 式
ʃ 1 / ( u ² - 1 ) du
= ʃ ( 1 + u - u ) / ( u ² - 1 ) du
= ʃ ( 1 + u ) / ( u ² - 1 ) du - ʃ u / ( u ² - 1 ) du
= ʃ ( 1 + u ) / [ ( u + 1 ) ( u - 1 ) ] du - 1/2 * ʃ 2 u / ( u ² - 1 ) du
= ʃ 1 / ( u - 1 ) du - 1/2 * ʃ 1 / ( u ² - 1 ) d ( u ² - 1 )
= ln | u - 1 | - 1/2 ln | u ² - 1 |
将 u = x / 根号 ( a ) 代回
= ln | 根号 ( a ) - 1 | - 1/2 ln | a - 1 |
代回 (1) 式
ʃ 1 / ( x ² - a ) dx , a > 0
= 1 / 根号 ( a ) * ʃ 1 / ( u ² - 1 ) du
= 1 / 根号 ( a ) * [ ln | 根号 ( a ) - 1 | - 1/2 ln | a - 1 | ]
= 1 / 根号 ( a ) * ln | 根号 ( a ) - 1 | - 1 / 根号 ( a ) * 1/2 ln | a - 1 |
ʃ 1 / ( x ² - a ) dx , a > 0 = 1 / 根号 ( a ) * ln | 根号 ( a ) - 1 | - 1 / 根号 ( a ) * 1/2 ln | a - 1 |
其实 这是一个 公式 ʃ 1 / ( x ² - a ² ) dx = 1 / ( 2 a ) ln | ( x - a ) / ( x + a ) | 。
ʃ 1 / ( x ² + a ) dx , a > 0 的 积分方法 没想出来， 看了一下， 也有公式， ʃ 1 / ( x ² + a ² ) dx = 1/a * arctan ( x / a ) 。
看到公式， 也就知道 怎么推导 的 。
其实 我想了 一个 推导 ʃ 1 / ( x ² + a ) dx , a > 0 的 办法， 只是没有成功， 如下 ：
ʃ 1 / ( x ² + a ) dx , a > 0
= ʃ ( 1 + x - x ) / ( x ² + a ) dx
= ʃ ( 1 + x ) / ( x ² + a ) dx - ʃ x / ( x ² + a ) dx
= ʃ ( 1 + x ) [ ʃ 1 / ( x ² + a ) dx ] ′ - 1/2 ʃ 2 x / ( x ² + a ) dx
= ( 1 + x ) ʃ 1 / ( x ² + a ) dx - ʃ ( 1 + x ) ′ [ ʃ 1 / ( x ² + a ) dx ] dx - 1/2 ʃ 1 / ( x ² + a ) d ( x ² + a )
= ( 1 + x ) ʃ 1 / ( x ² + a ) dx - ʃ [ ʃ 1 / ( x ² + a ) dx ] dx - 1/2 ʃ 1 / ( x ² + a ) d ( x ² + a )
= ( 1 + x ) ʃ 1 / ( x ² + a ) dx - ʃ [ ʃ 1 / ( x ² + a ) dx ] dx - 1/2 ln | x ² + a |
ʃ 1 / ( x ² + a ) dx = ( 1 + x ) ʃ 1 / ( x ² + a ) dx - ʃ [ ʃ 1 / ( x ² + a ) dx ] dx - 1/2 ln | x ² + a |
ʃ [ ʃ 1 / ( x ² + a ) dx ] dx = x ʃ 1 / ( x ² + a ) dx - 1/2 ln | x ² + a |
{ ʃ [ ʃ 1 / ( x ² + a ) dx ] dx } ′ = [ x ʃ 1 / ( x ² + a ) dx ] ′ - [ 1/2 ln | x ² + a | ] ′
ʃ 1 / ( x ² + a ) dx = ʃ 1 / ( x ² + a ) dx + x / ( x ² + a ) - 1/2 * 2 x * 1 / ( x ² + a )
ʃ 1 / ( x ² + a ) dx = ʃ 1 / ( x ² + a ) dx + x / ( x ² + a ) - x / ( x ² + a )
ʃ 1 / ( x ² + a ) dx = ʃ 1 / ( x ² + a ) dx
0 = 0
过程 就交代到这里 ， 还是 用 数学软件 推导出 解析解 和 画出 函数曲线 吧 。 @fz8zi8 @dons222 @ylyyjjlh @雾里民工 @lzmsunny96
dons 老板 有没兴趣 研发 一款 会 做 解析积分 的 数学软件 ？ 可以 先 做成 开源项目， 我们 就在 反相吧 做这个 开源项目 。
解析积分 是 相对于 数值积分 而言， 解析积分 就是 用 推导公式 的 方式 推导 出 积分 的 解析解 。