数学吧第六届吧赛结束了，我们是不是也来点反相吧物理竞赛什么的

这个可以有。

比如 @物理小白 《分享: 高中物理受力分析》 https://tieba.baidu.com/p/7955056517 ，
作为 高中题， 这题 是 选择题， 把 它 提升一下， 不仅 要 选择 正确选项， 还要 给出 推导计算 过程， 即 推导计算 出 小球速度 函数曲线 。

是的

受力分析有点千篇一律了，搞研究要考研建模能力。俺来出个题吧，与哈勃定律相关：已知宇宙空间平均物质密度为p，求相对地球足够大的距离R处的引力场强度

熊老师 @xzwqstt 《恳请求解》 https://tieba.baidu.com/p/7959608620 收录为 竞赛题目 。
我 的 思路 是 列 微分方程 ， 微分方程 的 积分 好像可以用 三角函数 换元积分法 积出来， 结果 可能 包含 正切函数 。
大家 先试试 。

10 楼 题目解答
设 从 A 运动 到 C 的 路程 为 s， r₀ = s * r / L
u = U * a r₀² / [ b ( R - r₀ ) ² ]
= U * a ( s * r / L ) ² / [ b ( R - s * r / L ) ² ]
= U * a ( s * r / L ) ² / [ b * ( r / L ) ² ( R L / r - s ) ² ]
= U a s ² / [ b ( R L / r - s ) ² ]
ds / dt = V - u
ds / dt = V - U a s ² / [ b ( R L / r - s ) ² ]
ds / dt = [ V b ( R L / r - s ) ² - U a s ² ] / [ b ( R L / r - s ) ² ]
[ b ( R L / r - s ) ² ] / [ V b ( R L / r - s ) ² - U a s ² ] ds = dt
两边积分
ʃ [ b ( R L / r - s ) ² ] / [ V b ( R L / r - s ) ² - U a s ² ] ds = ʃ dt
ʃ [ b ( R L / r - s ) ² ] / [ V b ( R L / r - s ) ² - U a s ² ] ds
= ……
过程 懒得写了， 实在太烦， 而且 容易 搞错， 简单 的 说一下 。
[ b ( R L / r - s ) ² ] / [ V b ( R L / r - s ) ² - U a s ² ] 分子分母 都 把 平方括号 展开 为 多项式， 再 配平方， 整理 可得 ʃ ( x ² + bx + c ) / ( x ² + a ) dx 这一类型 的 积分 。
ʃ ( x ² + bx + c ) / ( x ² + a ) dx
= ʃ x ² / ( x ² + a ) dx + ʃ bx / ( x ² + a ) dx + ʃ c / ( x ² + a ) dx
ʃ x ² / ( x ² + a ) dx
= ʃ ( x ² + a - a ) / ( x ² + a ) dx
= ʃ ( x ² + a ) / ( x ² + a ) dx - ʃ a / ( x ² + a ) dx
= ʃ dx - a ʃ 1 / ( x ² + a ) dx
= x - a ʃ 1 / ( x ² + a ) dx
ʃ 1 / ( x ² + a ) dx 有公式， 下面会推导 。
ʃ bx / ( x ² + a ) dx
= b ʃ x / ( x ² + a ) dx
= b ʃ 1/2 * 2 * x / ( x ² + a ) dx
= 1/2 * b ʃ 1 / ( x ² + a ) d ( x ² + a )
= 1/2 * b * ln | x ² + a |
ʃ c / ( x ² + a ) dx
= c ʃ 1 / ( x ² + a ) dx
ʃ 1 / ( x ² + a ) dx 分两种情况 ： ʃ 1 / ( x ² + a ) dx , a > 0 和 ʃ 1 / ( x ² - a ) dx , a > 0 。
先看 ʃ 1 / ( x ² - a ) dx , a > 0
ʃ 1 / ( x ² - a ) dx , a > 0
= 1 / a * ʃ 1 / { [ x / 根号 ( a ) ] ² - 1 } dx
= 1 / a * 根号 ( a ) * 1 / 根号 ( a ) * ʃ 1 / { [ x / 根号 ( a ) ] ² - 1 } dx
= 1 / a * 根号 ( a ) * ʃ 1 / { [ x / 根号 ( a ) ] ² - 1 } * 1 / 根号 ( a ) dx
= 1 / 根号 ( a ) * ʃ 1 / { [ x / 根号 ( a ) ] ² - 1 } * 1 / 根号 ( a ) dx
= 1 / 根号 ( a ) * ʃ 1 / { [ x / 根号 ( a ) ] ² - 1 } d [ x / 根号 ( a ) ]
设 u = x / 根号 ( a )
= 1 / 根号 ( a ) * ʃ 1 / ( u ² - 1 ) du (1) 式
ʃ 1 / ( u ² - 1 ) du
= ʃ ( 1 + u - u ) / ( u ² - 1 ) du
= ʃ ( 1 + u ) / ( u ² - 1 ) du - ʃ u / ( u ² - 1 ) du
= ʃ ( 1 + u ) / [ ( u + 1 ) ( u - 1 ) ] du - 1/2 * ʃ 2 u / ( u ² - 1 ) du
= ʃ 1 / ( u - 1 ) du - 1/2 * ʃ 1 / ( u ² - 1 ) d ( u ² - 1 )
= ln | u - 1 | - 1/2 ln | u ² - 1 |
将 u = x / 根号 ( a ) 代回
= ln | 根号 ( a ) - 1 | - 1/2 ln | a - 1 |
代回 (1) 式
ʃ 1 / ( x ² - a ) dx , a > 0
= 1 / 根号 ( a ) * ʃ 1 / ( u ² - 1 ) du
= 1 / 根号 ( a ) * [ ln | 根号 ( a ) - 1 | - 1/2 ln | a - 1 | ]
= 1 / 根号 ( a ) * ln | 根号 ( a ) - 1 | - 1 / 根号 ( a ) * 1/2 ln | a - 1 |
ʃ 1 / ( x ² - a ) dx , a > 0 = 1 / 根号 ( a ) * ln | 根号 ( a ) - 1 | - 1 / 根号 ( a ) * 1/2 ln | a - 1 |
其实 这是一个 公式 ʃ 1 / ( x ² - a ² ) dx = 1 / ( 2 a ) ln | ( x - a ) / ( x + a ) | 。
ʃ 1 / ( x ² + a ) dx , a > 0 的 积分方法 没想出来， 看了一下， 也有公式， ʃ 1 / ( x ² + a ² ) dx = 1/a * arctan ( x / a ) 。
看到公式， 也就知道 怎么推导 的 。
其实 我想了 一个 推导 ʃ 1 / ( x ² + a ) dx , a > 0 的 办法， 只是没有成功， 如下 ：
ʃ 1 / ( x ² + a ) dx , a > 0
= ʃ ( 1 + x - x ) / ( x ² + a ) dx
= ʃ ( 1 + x ) / ( x ² + a ) dx - ʃ x / ( x ² + a ) dx
= ʃ ( 1 + x ) [ ʃ 1 / ( x ² + a ) dx ] ′ - 1/2 ʃ 2 x / ( x ² + a ) dx
= ( 1 + x ) ʃ 1 / ( x ² + a ) dx - ʃ ( 1 + x ) ′ [ ʃ 1 / ( x ² + a ) dx ] dx - 1/2 ʃ 1 / ( x ² + a ) d ( x ² + a )
= ( 1 + x ) ʃ 1 / ( x ² + a ) dx - ʃ [ ʃ 1 / ( x ² + a ) dx ] dx - 1/2 ʃ 1 / ( x ² + a ) d ( x ² + a )
= ( 1 + x ) ʃ 1 / ( x ² + a ) dx - ʃ [ ʃ 1 / ( x ² + a ) dx ] dx - 1/2 ln | x ² + a |
ʃ 1 / ( x ² + a ) dx = ( 1 + x ) ʃ 1 / ( x ² + a ) dx - ʃ [ ʃ 1 / ( x ² + a ) dx ] dx - 1/2 ln | x ² + a |
ʃ [ ʃ 1 / ( x ² + a ) dx ] dx = x ʃ 1 / ( x ² + a ) dx - 1/2 ln | x ² + a |
{ ʃ [ ʃ 1 / ( x ² + a ) dx ] dx } ′ = [ x ʃ 1 / ( x ² + a ) dx ] ′ - [ 1/2 ln | x ² + a | ] ′
ʃ 1 / ( x ² + a ) dx = ʃ 1 / ( x ² + a ) dx + x / ( x ² + a ) - 1/2 * 2 x * 1 / ( x ² + a )
ʃ 1 / ( x ² + a ) dx = ʃ 1 / ( x ² + a ) dx + x / ( x ² + a ) - x / ( x ² + a )
ʃ 1 / ( x ² + a ) dx = ʃ 1 / ( x ² + a ) dx
0 = 0
过程 就交代到这里 ， 还是 用 数学软件 推导出 解析解 和 画出 函数曲线 吧 。 @fz8zi8 @dons222 @ylyyjjlh @雾里民工 @lzmsunny96
dons 老板 有没兴趣 研发 一款 会 做 解析积分 的 数学软件 ？ 可以 先 做成 开源项目， 我们 就在 反相吧 做这个 开源项目 。
解析积分 是 相对于 数值积分 而言， 解析积分 就是 用 推导公式 的 方式 推导 出 积分 的 解析解 。

@xzwqstt 熊老师 客气了 ^ ^
我在这里 对 本帖 12 楼 和 《恳请求解》 https://tieba.baidu.com/p/7959608620 13 楼 一起 回复 。
s 是 质点 从 A 运动 到 C 的 路程， 是 随 时间 t 变化 的 变量 。 质点 从 A 出发 时， s = 0， 质点 运动到 C 点 时， s = L 。
根据 相似三角形 可得 r₀ / s = r / L ， 于是 r₀ = s * r / L 。
人工 推导 和 代入数据 运算 比较 繁琐， 也容易 出错 。
一个 值得 注意 的 地方是， @lzmsunny96 在 《恳请求解》 12 楼 贴出 的 计算过程 （如下图）， 红线部分 是 积分， 这个 积分 是 对 V + u 积分， 而 我在 本帖 12 楼 的 积分 是 对 1 / ( V - u ) 积分， 我是 按 V - u 的 条件做的， 如果 按 V + u 的 条件做， 就是 对 1 / ( V + u ) 积分 。 所以， 我们 两个 的 积分 是 不一样 的， 积分结果 当然 也是 不一样 的 。 简单的看， 我的 积分 应该有 2 项 自然对数 ln ( ... )， 而 他的 积分 只有 一项 自然对数 ln ( ... ) 。 @lzmsunny96 的 思路 是 计算 平均速度， 这个 思路 也说得通， 那么， 我们 的 两个结果， 哪个 才是 对 的 ？

另外一件事 是， @fz8zi8 在 本帖 13 楼 贴出了 数学软件 计算 ʃ 1 / ( x ² + a ) dx = 1/a^(1/2)*atan(x/a^(1/2)) ， 看起来 数学软件 把 a 默认看作是 大于 0 的， 所以， 在 做 熊老师 的 这一题 的 时候， 要 先 把 要 积分 的 表达式 整理出来， 搞清楚 ʃ 1 / ( x ² + a ) dx 这一类型 的 积分 的 表达式 里 的 a 是 大于 0 还是 小于 0 。 按照 我在 12 楼 列的 微分方程， 这个 a 是 和 题目条件 a, b, R, r, L, V, U 有关 的 表达式， 代入 a, b, R, r, L, V, U 的 数据 才能 确定 这个 a 的 表达式 是 大于 0 还是 小于 0 。 注意， ʃ 1 / ( x ² + a ) dx 表示 一种类型 的 积分， 这里 的 a 和 题目条件 a, b, R, r, L, V, U 里 的 a 不是 一个 a 。

还发现一件 有意思 的 事， @lzmsunny96 以 r₀ 为 “基底” 来 求 平均速度 （见 14 楼）， 也就是 以 r₀ 为 基底 求 均值 。 那， 以 s 为 基底 来 求 平均速度 行不行 ？ 即 以 s 为 基底 求 均值 。
想当然的， 以 r₀ 为 基底 计算 的 平均速度 和 以 s 为 基底 计算 的 平均速度 应该 等价， 但 实际上 两者 并不相等 。
@lzmsunny96 在 14 楼 回复 说 “计算结果应该差不多。我的计算方法简单一些。” 我 不反对 这个 看法， 但 到底 差不多 还是 差多少， 别的不说， 看看 以 r₀ 为 基底 计算 的 平均速度 和 以 s 为 基底 计算 的 平均速度 差多少 ？
以前 我 应 左老师 @◎粒子宇宙观察者25 的 需求， 写了一个 计算 模拟积分 的 简单程序， 原理 很简单， 就是 模拟 微元， 当 微元 数量 很多时， 比如 100 万 个， 1000 万 个， 1 亿 个， 结果 的 精度 就 越高 。 当时 计算 左老师 的 一个 包含 指数函数 的 积分， 结果 和 @☞达瓦里希☜ 用 数学软件 计算 的 差不多 。
我 稍后 把 这个 程序 完善一下， 用来 计算 熊老师 @xzwqstt 这题 的 积分 。
其实 如果 只是 单纯 的 积分， 不涉及 解 微分方程 的 话， 用 模拟积分 就很适合， 绿色 环保 无污染， 简便 快捷 傻瓜式， 精度 全靠 微元数 （Step 数）， 多核计算 并行计算 来 支持 。
用 模拟积分 可以 避免 积分推导 的 种种 数学问题 ， 所以 是 傻瓜式， 有点像 亚历山大 用 剑 劈开 绳结， 通俗的说 就是 简单粗暴， 用一个 字 形容 这种感觉（feel）， 就是 爽 。
在 计算资源 过剩， 多核 并行 大行其道 的 年代， 有限元外推法 还有 价值 吗 ？ 其实 也有 哈， 有限元外推法 和 数学方法 让 你 节省了 1000 台 服务器 的 成本， 是不是 价值 ？ 其实 还不止于此 。 但 反过来， 即使 没有 有限元外推法 和 相关 数学方法， 也不用慌， 还有 傻瓜式 的 办法 。
模拟积分 也是 数值积分 吧 ？
计算机 解 微分方程， 求 解析解 和 数值解 都 需要 专门 的 程序 和 算法， 就不像 模拟积分 这样简单 了 。

最近在写自然哲学方面的书，不太适合做吧主。数年后如还有机会，会争取一下。但忧心于反相吧被反民科占领，本吧和理论物理吧还算比较和谐的社区。维护好这份和谐并传承下去，是大家共同的责任。