傅里叶级数 和 高次多项式函数 在 构建 函数曲线 形状 多样化 方面 的 异同， 各自 的 能力 和 特点 。
这个 课题 也 和 霍奇猜想 有关 。 我还在 《三角函数 版 的 霍奇猜想》 里 提出了 三角函数 版 的 霍奇猜想 呢 。
为什么 和 霍奇猜想 有关 ？ 因为 都 和 “形状” 有关 嘛 。
本文 也可以叫 《论 傅里叶级数 和 高次多项式函数 构建 函数曲线 形状 多样化》， 《论 傅里叶级数 和 高次多项式函数 在 构建 函数曲线 形状 多样化 方面》 ，
《傅里叶级数 和 高次方程》， 《论 傅里叶级数 和 高次方程 构建 函数曲线 形状 多样化》， 《论 傅里叶级数 和 高次方程 在 构建 函数曲线 形状 多样化 方面》 。
如果 将 一个 定义域 T 里 的 多项式函数 定义 为 一个 周期， 则 可以用 多项式函数 来 表示 周期函数， T 是 一个 周期 。 如果 周期函数 是 连续的， 则 要求 T 内 的 多项式函数 的 函数曲线 首尾 的 函数值 相等 。 如果 周期函数 是 连续光滑 的， 则 要求 T 内 的 多项式函数 的 函数曲线 首尾 的 函数值 和 导数 相等 。
以上 写于 2020-10-03 ， 今天 是 2022-06-13 ， 接着写， 也对 上文 做了一些 修改 。
下文 内容 大部分 节选于 《我邀请 民科吧 网友 来 反相吧 数学探讨 和 数学辩论》 https://tieba.baidu.com/p/6407504187 13 楼 14 楼 。
傅里叶级数 分解法 就是 求 f ( x ) 的 傅里叶级数 的 方法 。
傅里叶级数 分解法 可以有 若干种， 比如 ：
1 传统的方法， 好像就是 傅里叶变换 ， 还有 小波分解 什么的，
2 我在 10 楼 提到的 方法
3 规划， 规划 是 计算机程序 为主 的 方法， 基于 特征 。 简单的 规划 可以 算为 专家系统， 自主学习 的 规划 可以算为 人工智能 。
长久以来， 傅里叶级数 在 信号分析 领域 的 应用 大概 是 光环 多于 实际作用 。
傅里叶级数 反映 的 是 一种 数学性质， 而 实际中， 信号分析 要 知道 的 可能 更多 是 信号 的 特征， 也可以说 是 特征分量 。
就是 说， “特征” 可能 比 “数学性质” 更 满足 信号分析 的 需求 。
我以前 在 《一个 周期信号 分解为 若干个 正弦信号》 https://tieba.baidu.com/p/6698544745 里 提出过 特征分量 。
比如， 生物， 包括 人 和 动物 ， 甚至 植物， 它们 的 耳朵 和 听觉 处理 声波 大概 是 用 提取 特征 的 方式 的 ， 不太像是 用 傅里叶级数 。
我以前想， 动物 和 人 的 脑子 里 有没有 一个 模块 是 处理 傅里叶级数 的 ？ 把 声波 的 波形 分解为 傅里叶级数 。
自然界 的 信号 强行 分解 为 傅里叶级数 反而 会 丢失 特征信息 。
就算是 电信 和 计算机 网络 的 物理层 和 链路层， 用 傅里叶级数 进行 信号分析 也 往往 可能 是 走弯路 。
实际上， 用 特征 的 方法 也许 更好 。
比如， 对于 方波， 可以 将 它 的 “方” 的 2 个 角 作为 特征 提取出来， 剩下 的 波形 就变成 比较 圆滑 和 渐变 的 ， 可以 分析 2 个 方角 的 分量（波） 在 电路 中 传输时 受到 的 影响， 比如 电路 对 方角 突变 的 响应延迟 和 失真， 等等 。
这样 的 方法 不需要 高深 的 数学， 主要 是 系统思维 和 系统设计 。
一说起 傅里叶级数（的 用途）， 大家可能就会说 “频谱”， 好吧， 频谱 就 频谱 吧， 哈哈哈哈 。
傅里叶级数 在 数学 上 有 重要价值， 因此， 傅里叶级数 更大 的 用途 应该 是 数学分析，未来， 傅里叶级数 会 在 各种 新式 的 数学方法 中 扮演 重要 关键 奇兵 的 角色 。
傅里叶级数 反映 的 是 正弦函数 的 一种 “相干性” ， 多个 二次函数 相加 结果 还是 一个 二次函数， 函数 顶点 仍然只有一个， 不会增加 新的 极值点 ， 而 正弦函数 则 不然 ， 这就是 正弦函数 的 相干性 。
我想 这些 值得研究 ， 有什么用， 还不知道 。
证明 傅里叶级数 不一定 从 周期函数 入手， 可以从 相干性 入手 。
证明了 相干性， 就 证明了 傅里叶级数 。
相干性 指 两个 或 多个 正弦函数 相加 可以 产生 额外 或 任意 的 极值点 和 拐点 。 这一性质 可以带来 形状多样化 ， 函数曲线 的 形状多样化 。
傅里叶级数 的 正弦函数 们 是 倍频 的 关系， 即 频率 是 基频 的 整数倍， 实际上， 任意 的 两个 或 多个 不同 频率 的 正弦函数 都 有 相干性 。
试了一下， 两个 相同频率 但有 相位差 的 正弦函数 相加 还是 一个 同频率 的 波形 像 正弦函数 的 函数， 不会产生额外 的 极值点 ， 嘿嘿嘿 。
两个 相同频率 但有 相位差 的 正弦函数 相加 可以 写成
y = sin ( ω t ) + sin ( ω t + ψ ) , t 为 变量， ω 、ψ 为 常量
因为 频率相同， 也就是 ω 相同， 可以把 ω t 写成 α ，
y = sin α + sin ( α + ψ )
根据 三角和角公式 ，
= sin α + sin α cos ψ + cos α sin ψ
= ( 1 + cos ψ ) sin α + cos α sin ψ , α 为 变量 ， ψ 为 常量
可以写成
y = A sin α + B cos α , A 、B 为 常量
这一看， 有点傻眼， A sin α + B cos α 是 什么 鬼 ？ 既不是 正弦函数， 又不是 余弦函数， 用 《一个 周期信号 分解为 若干个 正弦信号》 https://tieba.baidu.com/p/6698544745 文章结尾 的 演示程序 演示了一下， sin α + sin ( α + ψ ) 的 波形 类似 正弦函数， 没有 产生 额外 的 极值点， 频率（周期） 和 sin α 一样 。
那 问题来了， 要怎么证明 A sin α + B cos α 的 波形 类似 正弦函数， 没有 产生 额外 的 极值点， 频率（周期） 和 sin α 一样 ？
有点 困难 。
简单一点， 粗略的， 我们 来 寻找 A sin α + B cos α 上 相距最近 的 2 个 极值点 。
对 A sin α + B cos α 求导
( A sin α + B cos α ) ′
= A cos α - B sin α
让 导数 = 0
A cos α - B sin α = 0
A cos α = B sin α
sin α / cos α = A / B
tan α = A / B
A / B 是 常量， tan α 的 周期 是 π ， 也就是， α 每隔 π ， tan α 等于一次 A / B ， 也就是 α 每隔 π ， ( A sin α + B cos α ) ′ = 0 ， 也就是 α 每隔 π ， A sin α + B cos α 出现一次 极值点， 也就是， A sin α + B cos α 相距最近 的 2 个 极值点 之间 相距 π 。
波峰之后 要 经过 波谷 才会 再 出现 波峰， 波峰 和 波谷 之间 相距 π ， 波峰 和 波峰 之间 相距 2 π ， 所以 A sin α + B cos α 周期 和 sin α 一样， 都是 2 π ， 也没有 额外 的 极值点， 大致 可认为 波形 和 sin α 相似 。
这是 周期一样 的 两个 正弦函数， 相加 不会 产生 额外 的 极值点 （和 拐点） ， 但是， 如果 周期 不一样， 两个 正弦函数 相加 是 会 产生 额外 的 极值点 的， 这个 我也用 演示程序 演示过了 。
由此， 将 一个 信号 分解 为 正弦分量， 不一定 要 按照 傅里叶级数 的 倍频关系， 而是 可以 根据 需要 选择 适当 的 频率， 也就是说， 可以 用 任意 的 频率 相位 振幅 的 任意 个 正弦函数 相加 来 表示 一个 信号， 这些 正弦函数 都是 信号 的 正弦分量 。 换句话说， 一个 信号 可以 分解 为 任意 频率 相位 振幅 的 任意 个 正弦函数 。 简单的说， 一个 信号 可以 分解为 任意 的 一些 正弦函数 。
这样 就 比 傅里叶级数 灵活， 正弦分量 本身 就 可以 接近 信号 的 特征分量， 也可以说 这种做法 融合了 傅里叶级数 和 特征分量 两种 方法 。
顺带引出一个 问题 ：
众所周知， 三角函数 可以 展开 为 泰勒级数， 泰勒级数 是 高次多项式， 多个 正弦函数 相加 可以 表示为 多个 泰勒级数 相加，
正弦函数 相加 产生 额外 的 极值点 和 拐点， 多项式 相加 不会 产生 额外 的 极值点 和 拐点，
那么， 把 多个 正弦函数 表示 为 多个 泰勒级数， 一个 正弦函数 对应 一个 泰勒级数， 这些 正弦函数 相加 会 产生 额外 的 极值点 和 拐点，
那么， 按理， 这些 泰勒级数 相加 也会 产生 额外 的 极值点 和 拐点， 但 另一方面， 泰勒级数 是 多项式， 多项式 相加 不会 产生 额外 的 极值点 和 拐点，
这就 矛盾了， 这是 为什么 ？
也可以说， n 次 多项式函数 最多 有 n - 1 个 极值点， 泰勒级数 n -> 无穷， 那么， 多个 泰勒级数 相加 还是一个 n 次 多项式， n -> 无穷， 这个 n 次多项式 的 极值点 就算 不是 n - 1 个， （极值点数量）也和 n 相关， 可能 也是 无穷 个， 虽然 没有 具体分析， 更没有 严格证明， 但 大概 可以这样看 。 那么， 设 有 一个 信号 f ( t )， 有 5 个 极值点， 将 f ( t ) 表示 为 傅里叶级数， 傅里叶级数 里 的 正弦函数 又 表示 为 泰勒级数， 则 傅里叶级数 表示 为 多个 泰勒级数 相加， 结果 是 一个 n 次 多项式， 刚刚说了， 这个 n 次 多形式 的 极值点 大概 有 无穷 个， 但 这个 n 次 多项式 是 f ( t ) 的 傅里叶级数， 即 n 次 多项式 和 f ( t ) 等价， 当然 两者 的 函数曲线 也一样， 因为 f ( t ) 有 5 个 极值点， n 次 多项式 也 应该 是 5 个 极值点， 这 就 和 刚刚说的 n 次 多项式 的 极值点 有 无穷 个 矛盾 了 。 这是 怎么回事 ？
从 这里 还可以 引出 一个 课题， 设 一个 任意 的 连续光滑 的 信号 f ( t ) ， 有 n - 1 个 极值点， 因为 n 次多项式 最多有 n - 1 个 极值点， 是不是 可以用 一个 n 次 多项式 来 表示 这个 信号， 只要 给 n 次 多项式 的 各项 指定 适当 的 系数， n 次 多项式 的 函数曲线 就会 和 f ( t ) 一样， 即 两者等价 ？
比如 f ( t ) 有 5 个 极值点， 就 可以 尝试 用 一个 6 次 多项式 来 表示 f ( t )， 说 “无限逼近” 也行， 只要 给出 适当 的 各项系数， 6 次 多项式 的 函数曲线 就会 和 f ( t ) 重合， 或者说 无限逼近 f ( t ) 。 注意 6 次 多项式 的 函数曲线 只需要 在 f ( t ) 的 定义域 T 内 和 f ( t ) 重合， 这句话 好像是 废话， 但 说一下 比较 清楚 。
6 次 多项式 比如 y = a6 * t ⁶ + a5 * t ⁵ + a4 * t ⁴ + a3 * t ³ + a2 * t ² + a1 * t + a0 ， 只要 给出 适当 的 各项系数 a6 , a5 , a4 , a3 , a2 , a1 , a0 ， y 的 函数曲线 就会 和 f ( t ) 重合， 或者说 无限逼近 f ( t ) 。
这个 设想 称为 “多项式 函数曲线 形状 猜想”， 简称 “多项式 曲线形状 猜想” 、“多项式 曲线 猜想” 。
严格的说， n 次 多项式 最多有 n - 1 个 极值点 + 驻点， 这里 没有 考虑 驻点， 如果 f ( t ) 有 n 个 极值点， m 个 驻点， 那么， 应该 用 n + m + 1 次 多项式 来 表示 它 。
实际上， f ( t ) 有 5 个 极值点（驻点）， 不一定只是 用 6 次 多项式 来 表示 f ( t )， 也可以用 7 次 多项式， 8 次 多项式， 9 次 多项式 …… n 次多项式， n >= 6 。 只要 n 次 多项式 在 f ( t ) 的 定义域 T 内 和 f ( t ) 重合 。
所以， 若 n = 6， 有 几个 解 ？ 或 无解 ？ 即 有 几个 6 次 多项式 可以 表示 （无限逼近） f ( t ) ？
若 n >= 6 ， 有 几个 解 ？ 或 无解 ？
这个 课题 也 和 霍奇猜想 有关 。 我还在 《三角函数 版 的 霍奇猜想》 里 提出了 三角函数 版 的 霍奇猜想 呢 。
为什么 和 霍奇猜想 有关 ？ 因为 都 和 “形状” 有关 嘛 。
本文 也可以叫 《论 傅里叶级数 和 高次多项式函数 构建 函数曲线 形状 多样化》， 《论 傅里叶级数 和 高次多项式函数 在 构建 函数曲线 形状 多样化 方面》 ，
《傅里叶级数 和 高次方程》， 《论 傅里叶级数 和 高次方程 构建 函数曲线 形状 多样化》， 《论 傅里叶级数 和 高次方程 在 构建 函数曲线 形状 多样化 方面》 。
如果 将 一个 定义域 T 里 的 多项式函数 定义 为 一个 周期， 则 可以用 多项式函数 来 表示 周期函数， T 是 一个 周期 。 如果 周期函数 是 连续的， 则 要求 T 内 的 多项式函数 的 函数曲线 首尾 的 函数值 相等 。 如果 周期函数 是 连续光滑 的， 则 要求 T 内 的 多项式函数 的 函数曲线 首尾 的 函数值 和 导数 相等 。
以上 写于 2020-10-03 ， 今天 是 2022-06-13 ， 接着写， 也对 上文 做了一些 修改 。
下文 内容 大部分 节选于 《我邀请 民科吧 网友 来 反相吧 数学探讨 和 数学辩论》 https://tieba.baidu.com/p/6407504187 13 楼 14 楼 。
傅里叶级数 分解法 就是 求 f ( x ) 的 傅里叶级数 的 方法 。
傅里叶级数 分解法 可以有 若干种， 比如 ：
1 传统的方法， 好像就是 傅里叶变换 ， 还有 小波分解 什么的，
2 我在 10 楼 提到的 方法
3 规划， 规划 是 计算机程序 为主 的 方法， 基于 特征 。 简单的 规划 可以 算为 专家系统， 自主学习 的 规划 可以算为 人工智能 。
长久以来， 傅里叶级数 在 信号分析 领域 的 应用 大概 是 光环 多于 实际作用 。
傅里叶级数 反映 的 是 一种 数学性质， 而 实际中， 信号分析 要 知道 的 可能 更多 是 信号 的 特征， 也可以说 是 特征分量 。
就是 说， “特征” 可能 比 “数学性质” 更 满足 信号分析 的 需求 。
我以前 在 《一个 周期信号 分解为 若干个 正弦信号》 https://tieba.baidu.com/p/6698544745 里 提出过 特征分量 。
比如， 生物， 包括 人 和 动物 ， 甚至 植物， 它们 的 耳朵 和 听觉 处理 声波 大概 是 用 提取 特征 的 方式 的 ， 不太像是 用 傅里叶级数 。
我以前想， 动物 和 人 的 脑子 里 有没有 一个 模块 是 处理 傅里叶级数 的 ？ 把 声波 的 波形 分解为 傅里叶级数 。
自然界 的 信号 强行 分解 为 傅里叶级数 反而 会 丢失 特征信息 。
就算是 电信 和 计算机 网络 的 物理层 和 链路层， 用 傅里叶级数 进行 信号分析 也 往往 可能 是 走弯路 。
实际上， 用 特征 的 方法 也许 更好 。
比如， 对于 方波， 可以 将 它 的 “方” 的 2 个 角 作为 特征 提取出来， 剩下 的 波形 就变成 比较 圆滑 和 渐变 的 ， 可以 分析 2 个 方角 的 分量（波） 在 电路 中 传输时 受到 的 影响， 比如 电路 对 方角 突变 的 响应延迟 和 失真， 等等 。
这样 的 方法 不需要 高深 的 数学， 主要 是 系统思维 和 系统设计 。
一说起 傅里叶级数（的 用途）， 大家可能就会说 “频谱”， 好吧， 频谱 就 频谱 吧， 哈哈哈哈 。
傅里叶级数 在 数学 上 有 重要价值， 因此， 傅里叶级数 更大 的 用途 应该 是 数学分析，未来， 傅里叶级数 会 在 各种 新式 的 数学方法 中 扮演 重要 关键 奇兵 的 角色 。
傅里叶级数 反映 的 是 正弦函数 的 一种 “相干性” ， 多个 二次函数 相加 结果 还是 一个 二次函数， 函数 顶点 仍然只有一个， 不会增加 新的 极值点 ， 而 正弦函数 则 不然 ， 这就是 正弦函数 的 相干性 。
我想 这些 值得研究 ， 有什么用， 还不知道 。
证明 傅里叶级数 不一定 从 周期函数 入手， 可以从 相干性 入手 。
证明了 相干性， 就 证明了 傅里叶级数 。
相干性 指 两个 或 多个 正弦函数 相加 可以 产生 额外 或 任意 的 极值点 和 拐点 。 这一性质 可以带来 形状多样化 ， 函数曲线 的 形状多样化 。
傅里叶级数 的 正弦函数 们 是 倍频 的 关系， 即 频率 是 基频 的 整数倍， 实际上， 任意 的 两个 或 多个 不同 频率 的 正弦函数 都 有 相干性 。
试了一下， 两个 相同频率 但有 相位差 的 正弦函数 相加 还是 一个 同频率 的 波形 像 正弦函数 的 函数， 不会产生额外 的 极值点 ， 嘿嘿嘿 。
两个 相同频率 但有 相位差 的 正弦函数 相加 可以 写成
y = sin ( ω t ) + sin ( ω t + ψ ) , t 为 变量， ω 、ψ 为 常量
因为 频率相同， 也就是 ω 相同， 可以把 ω t 写成 α ，
y = sin α + sin ( α + ψ )
根据 三角和角公式 ，
= sin α + sin α cos ψ + cos α sin ψ
= ( 1 + cos ψ ) sin α + cos α sin ψ , α 为 变量 ， ψ 为 常量
可以写成
y = A sin α + B cos α , A 、B 为 常量
这一看， 有点傻眼， A sin α + B cos α 是 什么 鬼 ？ 既不是 正弦函数， 又不是 余弦函数， 用 《一个 周期信号 分解为 若干个 正弦信号》 https://tieba.baidu.com/p/6698544745 文章结尾 的 演示程序 演示了一下， sin α + sin ( α + ψ ) 的 波形 类似 正弦函数， 没有 产生 额外 的 极值点， 频率（周期） 和 sin α 一样 。
那 问题来了， 要怎么证明 A sin α + B cos α 的 波形 类似 正弦函数， 没有 产生 额外 的 极值点， 频率（周期） 和 sin α 一样 ？
有点 困难 。
简单一点， 粗略的， 我们 来 寻找 A sin α + B cos α 上 相距最近 的 2 个 极值点 。
对 A sin α + B cos α 求导
( A sin α + B cos α ) ′
= A cos α - B sin α
让 导数 = 0
A cos α - B sin α = 0
A cos α = B sin α
sin α / cos α = A / B
tan α = A / B
A / B 是 常量， tan α 的 周期 是 π ， 也就是， α 每隔 π ， tan α 等于一次 A / B ， 也就是 α 每隔 π ， ( A sin α + B cos α ) ′ = 0 ， 也就是 α 每隔 π ， A sin α + B cos α 出现一次 极值点， 也就是， A sin α + B cos α 相距最近 的 2 个 极值点 之间 相距 π 。
波峰之后 要 经过 波谷 才会 再 出现 波峰， 波峰 和 波谷 之间 相距 π ， 波峰 和 波峰 之间 相距 2 π ， 所以 A sin α + B cos α 周期 和 sin α 一样， 都是 2 π ， 也没有 额外 的 极值点， 大致 可认为 波形 和 sin α 相似 。
这是 周期一样 的 两个 正弦函数， 相加 不会 产生 额外 的 极值点 （和 拐点） ， 但是， 如果 周期 不一样， 两个 正弦函数 相加 是 会 产生 额外 的 极值点 的， 这个 我也用 演示程序 演示过了 。
由此， 将 一个 信号 分解 为 正弦分量， 不一定 要 按照 傅里叶级数 的 倍频关系， 而是 可以 根据 需要 选择 适当 的 频率， 也就是说， 可以 用 任意 的 频率 相位 振幅 的 任意 个 正弦函数 相加 来 表示 一个 信号， 这些 正弦函数 都是 信号 的 正弦分量 。 换句话说， 一个 信号 可以 分解 为 任意 频率 相位 振幅 的 任意 个 正弦函数 。 简单的说， 一个 信号 可以 分解为 任意 的 一些 正弦函数 。
这样 就 比 傅里叶级数 灵活， 正弦分量 本身 就 可以 接近 信号 的 特征分量， 也可以说 这种做法 融合了 傅里叶级数 和 特征分量 两种 方法 。
顺带引出一个 问题 ：
众所周知， 三角函数 可以 展开 为 泰勒级数， 泰勒级数 是 高次多项式， 多个 正弦函数 相加 可以 表示为 多个 泰勒级数 相加，
正弦函数 相加 产生 额外 的 极值点 和 拐点， 多项式 相加 不会 产生 额外 的 极值点 和 拐点，
那么， 把 多个 正弦函数 表示 为 多个 泰勒级数， 一个 正弦函数 对应 一个 泰勒级数， 这些 正弦函数 相加 会 产生 额外 的 极值点 和 拐点，
那么， 按理， 这些 泰勒级数 相加 也会 产生 额外 的 极值点 和 拐点， 但 另一方面， 泰勒级数 是 多项式， 多项式 相加 不会 产生 额外 的 极值点 和 拐点，
这就 矛盾了， 这是 为什么 ？
也可以说， n 次 多项式函数 最多 有 n - 1 个 极值点， 泰勒级数 n -> 无穷， 那么， 多个 泰勒级数 相加 还是一个 n 次 多项式， n -> 无穷， 这个 n 次多项式 的 极值点 就算 不是 n - 1 个， （极值点数量）也和 n 相关， 可能 也是 无穷 个， 虽然 没有 具体分析， 更没有 严格证明， 但 大概 可以这样看 。 那么， 设 有 一个 信号 f ( t )， 有 5 个 极值点， 将 f ( t ) 表示 为 傅里叶级数， 傅里叶级数 里 的 正弦函数 又 表示 为 泰勒级数， 则 傅里叶级数 表示 为 多个 泰勒级数 相加， 结果 是 一个 n 次 多项式， 刚刚说了， 这个 n 次 多形式 的 极值点 大概 有 无穷 个， 但 这个 n 次 多项式 是 f ( t ) 的 傅里叶级数， 即 n 次 多项式 和 f ( t ) 等价， 当然 两者 的 函数曲线 也一样， 因为 f ( t ) 有 5 个 极值点， n 次 多项式 也 应该 是 5 个 极值点， 这 就 和 刚刚说的 n 次 多项式 的 极值点 有 无穷 个 矛盾 了 。 这是 怎么回事 ？
从 这里 还可以 引出 一个 课题， 设 一个 任意 的 连续光滑 的 信号 f ( t ) ， 有 n - 1 个 极值点， 因为 n 次多项式 最多有 n - 1 个 极值点， 是不是 可以用 一个 n 次 多项式 来 表示 这个 信号， 只要 给 n 次 多项式 的 各项 指定 适当 的 系数， n 次 多项式 的 函数曲线 就会 和 f ( t ) 一样， 即 两者等价 ？
比如 f ( t ) 有 5 个 极值点， 就 可以 尝试 用 一个 6 次 多项式 来 表示 f ( t )， 说 “无限逼近” 也行， 只要 给出 适当 的 各项系数， 6 次 多项式 的 函数曲线 就会 和 f ( t ) 重合， 或者说 无限逼近 f ( t ) 。 注意 6 次 多项式 的 函数曲线 只需要 在 f ( t ) 的 定义域 T 内 和 f ( t ) 重合， 这句话 好像是 废话， 但 说一下 比较 清楚 。
6 次 多项式 比如 y = a6 * t ⁶ + a5 * t ⁵ + a4 * t ⁴ + a3 * t ³ + a2 * t ² + a1 * t + a0 ， 只要 给出 适当 的 各项系数 a6 , a5 , a4 , a3 , a2 , a1 , a0 ， y 的 函数曲线 就会 和 f ( t ) 重合， 或者说 无限逼近 f ( t ) 。
这个 设想 称为 “多项式 函数曲线 形状 猜想”， 简称 “多项式 曲线形状 猜想” 、“多项式 曲线 猜想” 。
严格的说， n 次 多项式 最多有 n - 1 个 极值点 + 驻点， 这里 没有 考虑 驻点， 如果 f ( t ) 有 n 个 极值点， m 个 驻点， 那么， 应该 用 n + m + 1 次 多项式 来 表示 它 。
实际上， f ( t ) 有 5 个 极值点（驻点）， 不一定只是 用 6 次 多项式 来 表示 f ( t )， 也可以用 7 次 多项式， 8 次 多项式， 9 次 多项式 …… n 次多项式， n >= 6 。 只要 n 次 多项式 在 f ( t ) 的 定义域 T 内 和 f ( t ) 重合 。
所以， 若 n = 6， 有 几个 解 ？ 或 无解 ？ 即 有 几个 6 次 多项式 可以 表示 （无限逼近） f ( t ) ？
若 n >= 6 ， 有 几个 解 ？ 或 无解 ？
