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数学吧 《这个谬论应该怎么反驳》

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数学吧 《这个谬论应该怎么反驳》 https://tieba.baidu.com/p/7810412720 。


一个 方程 自己 和 自己, 或 和 其它 一些 等式 进行 一些 运算, 得到一个 新的 方程, 新的方程 修改了 原方程 的 含义, 简单的说, 新的方程 已经 不是 原方程 了 。
通常, 这个 现象 称为 “增根”, 但 实际上, “增根” 说的 并不全面, 重点 是, 新的方程 已经 不是 原方程 了 。
一个 等式 自己 和 自己, 或 和 其它 一些 等式 进行 一些 运算, 得到一个 新的 等式, 新的等式 修改了 原等式 的 含义, 简单的说, 新的等式 已经 不是 原等式 了 。
我 在 《知乎 : 有什么你认为很简单的问题实际的证明却很复杂?》 https://tieba.baidu.com/p/7560195420 的 4 楼 说
“进一步, 还发现 用 一个 或 一些 等式 代入/运算 若干次, 得到 的 仍然 是 一个 等式, 这个 等式 可以看作 一个 方程, 这个 方程 的 解 包含了 这些 等式, 但 也 有 其它 的 解 。”
之前 我写的 《转一个 民科吧 的 帖 : 数学大厦竟如此不堪一击》 https://tieba.baidu.com/p/7518364469 也 提到 类似 的 问题,
有 网友 说 是 增根, 我觉得 增根 还是 次要的, 主要 是 x ² + x + 1 = 0 这个 方程 没有 实根 。


  • K歌之王
  • 声名远扬
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@白给丸-


2025-05-17 16:59:48
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  • K歌之王
  • 声名远扬
    12
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很多时候, 问题出在 “不是 代入” 。
比如, x = x + 1 , 自己 和 自己 相加, 可以是
x = x + 1
x = x + 1
两式相加, 得
2 x = 2 x + 2
x = x + 1
也可以是
x = x + 1
x + 1 = x
两式相加, 得
2 x + 1 = 2 x + 1
0 = 0
一个 是 x = x + 1, 一个 是 0 = 0, 这就有 问题 了 。
如果 是 代入 的 话, 把 x = x + 1 代入 x = x + 1 ,
x + 1 = ( x + 1 ) + 1
x + 1 = x + 1 + 1
x + 1 = x + 2
x = x + 1
以上 。
由于 不是代入, 就 埋藏了 逻辑问题 。
值得注意的是, 解 二元一次方程组 时, 可以让 两个 方程 相加减 消元, 这和 代入消元 是 等价 的 。
当然, 代入 也会 产生 增根, 比如
x ² + x - 1 = 0
x = 1 - x ²
把 x = 1 - x ² 代入 x ² + x - 1 = 0
( 1 - x ² ) ² + ( 1 - x ² ) - 1 = 0
1 - 2 x ² + x ⁴ + 1 - x ² - 1 = 0
x ⁴ - 3 x ² + 1 = 0
原方程 x ² + x - 1 = 0 , 新方程 x ⁴ - 3 x ² + 1 = 0 , 新方程 产生了 增根 。
也可以这样 代入,
x ² + x - 1 = 0
x ² = 1 - x
x = 根号 ( 1 - x )
把 x ² = 1 - x 和 x = 根号 ( 1 - x ) 代入 x ² + x - 1 = 0
( 1 - x ) + 根号 ( 1 - x ) - 1 = 0
( 1 - x ) - 1 = - 根号 ( 1 - x )
1 - x - 1 = - 根号 ( 1 - x )
- x = - 根号 ( 1 - x )
x ² = 1 - x
x ² + x - 1 = 0
哎 ? 这次 变回来了, 新方程 和 原方程 一样 。
还可以, 把 x ² = 1 - x 和 x = 1 - x ² 代入 x ² + x - 1 = 0 , x ² = 1 - x 替换 x ², x = 1 - x ² 替换 x ,
1 - x + 1 - x ² - 1 = 0
- x ² - x + 1 = 0
x ² + x - 1 = 0
这次 也 变回来了, 新方程 和 原方程 一样 。
还可以, 把 x = 根号 ( 1 - x ) 和 x ² = ( 1 - x ² ) ² 代入 x ² + x - 1 = 0 , x = 根号 ( 1 - x ) 替换 x, x ² = ( 1 - x ² ) ² 替换 x ² ,
略 。
如果 方程 是 2 x ² + x - 1 = 0 , 又 是 怎样 的 景象 ?
小朋友们, 你们 发现 什么 规律 了 吗 ?
这些规律 可以 表述 为 一个 定理, 称为 “等式运算变换规则”, 或 “等式运算变换定理”, 以后发表 。


  • K歌之王
  • 声名远扬
    12
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还可以 再 试试 一些 其它的 代入 的 做法, 虽然 这些 做法 可能 是 有问题 的, 不合理 的 。
比如, 把 x ² = 1 - x 代入 x ² + x - 1 = 0 , 只 替换 x ², x 保持不变,
1 - x + x - 1 = 0
0 = 0
原方程 x ² + x - 1 = 0 , 新方程 0 = 0 。
比如, 把 x = 根号 ( 1 - x ) 代入 x ² + x - 1 = 0 , 只 替换 x, x ² 保持不变,
x ² + 根号 ( 1 - x ) - 1 = 0
x ² - 1 = - 根号 ( 1 - x )
( x ² - 1 ) ² = [ - 根号 ( 1 - x ) ] ²
x ⁴ - 2 x ² + 1 = 1 - x
x ⁴ - 2 x ² + x = 0
原方程 x ² + x - 1 = 0 , 新方程 x ⁴ - 2 x ² + x = 0 , 新方程 产生了 增根 。
比如, 把 x = 1 - x ² 代入 x ² + x - 1 = 0 , 只 替换 x, x ² 保持不变,
x ² + 1 - x ² - 1 = 0
0 = 0
原方程 x ² + x - 1 = 0 , 新方程 0 = 0 。
比如, 把 x ² = ( 1 - x ² ) ² 代入 x ² + x - 1 = 0 , 只 替换 x ², x 保持不变,
( 1 - x ² ) ² + x - 1 = 0
1 - 2 x ² + x ⁴ + x - 1 = 0
x ⁴ - 2 x ² + x = 0
原方程 x ² + x - 1 = 0 , 新方程 x ⁴ - 2 x ² + x = 0 , 新方程 产生了 增根 。
如果 方程 是 2 x ² + x - 1 = 0 呢 ?


  • 拓变论@李炳铁
  • 大名鼎鼎
    14
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因为,x=x+1是不成立的等式,因为,由x=x+1,推导下去就是,x-x=1,即0=1,这是不成立的。所以,继续计算下去,根本就没有意义。


  • 拓变论@李炳铁
  • 大名鼎鼎
    14
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因为,x=x+1是不成立的等式,因为,由x=x+1,推导下去就是,x-x=1,即0=1,这是不成立的。所以,继续计算下去,根本就没有意义。
也就是x≠x+1才是对的,解得0≠1。由于方程是不等于方程,所以,除了等于之外的各种不等于都是对的。比如x ² ≠( x+1 )² ,2x+1≠0,x≠-0.5。
应该说错的是没有唯一性的。


  • SHUTDOWN_T_0
  • 默默无闻
    1
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解释:因为x=x+1不成立,所以x=-1/2不成立。


  • xzwqstt
  • 如雷贯耳
    15
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没时间和精力注意这种问题。
刚才看到,简单说几句。
关于X=X+1
首先,方程必须是等式。
因为,X≠X+1,那么X=X+1不是真正方程——是一种死硬套。
或者说,因为等式两端有同一对象X,却仅在一端单方面再多加一个非0数值,所以,X=X+1不成立。
数学就是最普适性(通用性)、精确性语言。
因此,该‘’式‘’相当于一般非数学用语的判断性:人≠人+一坨屎。


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