数学 的 最后一个 杰作 ： 傅里叶级数

照大神这么说来非欧几何并不能让我的欧氏几何姿态变换问题变得更简单，相反、我还不知道如何去写和理解这类似的算法。
如你所说，我也考虑了一下，把欧式几何的平移转换为无穷大旋转实际上也是很简单的，而平动+旋转就按偏心旋转处理的方式自我感觉也还良好，呵呵。
如果能引入傅里叶变换与姿态变换相结合，感觉蕴含着某些能量，可惜学艺不精也没应用场景，只有期待大神们去发掘了。

傅里叶级数的应用确实太普遍了，不仅有数字意义上的作用，更能直接在物理现象上直观反应(如傅里叶红外光谱仪、信号混频与滤波原理等)。最开始我也和傅里叶同时代的人一样，认为很不靠谱，但实际证明它在实际应用中屡试不爽，关键是它可以把自己用其他办法解决不了和解决不好的事轻易解决处理好，不得不服

回复 2 楼 3 楼 @dons222 ，
你们说的 “平动” 就是 平移 吧 ？ 昨天 我就奇怪， 你们 为什么 把 平动 和 旋转 的 问题 放在 一起 讲，
而 刚刚 又 再次 提到这个问题， “如你所说，我也考虑了一下，把欧式几何的平移转换为无穷大旋转实际上也是很简单的，而平动+旋转就按偏心旋转处理的方式自我感觉也还良好，呵呵”
昨天 思维机器 说到 旋转 是 矩阵（向量） 相乘， 我 简单 的 想了一下， 平移 是 加法，旋转 是 乘法， 平移 + 旋转 是 先加法 再乘法，
为什么 你们 这么在意 这个加法呢 ？ 莫非 是 希望 不用 加法， 统一 使用 乘法 ？ 这样 的 目的 是 为了 性能 ？ 节省 加法 使用 的 时钟周期， 比如 3 次 加法 和 3 次 乘法 只要 3 次 乘法 就可以 搞定 ？ 但 若 将 平移 等价为 无穷大 处 为 原点 的 旋转， 这也只是 做到了 平移 的 效果， 旋转 的 效果 仍然要再做一次， 且 原点 当然 是 实际旋转 的 “支点”，而 不会是 无穷大 。
这样的话， 节省 时钟周期 的 说法 就 说不通， 另一种 可能是， 代码 要 统一 使用 乘法 ？ 这实在没有必要， 也说不通 。
还是 GPU 只支持 旋转， 不支持 平移 ？ 不至于吧 ？
还是 2 个 旋转操作 可以 批量 的 封送 到 GPU 运行， 而 一个 旋转 一个 平移 操作 要 封送 两次 ？ 封送两次 造成 性能消耗 。
呵呵， 未完， 楼下 继续 回复 。

接 4 楼 @dons222 ，
“照大神这么说来非欧几何并不能让我的欧氏几何姿态变换问题变得更简单，相反、我还不知道如何去写和理解这类似的算法。”
我 对 非欧几何 了解不多， 也没有去学过 它 的 内容， 我在 本帖 1 楼 和 《说说 非欧几何》 https://tieba.baidu.com/p/7647530215 里 说 非欧几何 并不能 比 欧式几何 提供 额外 的 计算能力 是 凭 感觉 说的， 或者说 凭 “逻辑思辨” 说 的 。
其实 想想 也知道， 非欧 的 形式 完全 可以 和 欧式 的 形式 互相转换， 所以 在 计算能力 和 实质 上 不会有什么变化 是 自然而然 的 。
当然， 严格的说， “ 非欧 的 形式 完全 可以 和 欧式 的 形式 互相转换” 这句话 还 需要 证明 。
我 原来 用 自己 的 方法 研究 和 建立过 一套 球面几何， 主要 研究了 球面 短程线 。 但 还没有 写成文章 。
未完， 楼下 继续 回复 。

接 5 楼 @dons222 ，
我 一直 没 搞清楚 傅里叶变换 到底 是 什么（滑稽）， 因为 我想 自己 想一下 。
如果 是 把 一个 信号（函数） 分解为 傅里叶级数， 也就是 求 一个 信号（函数） 的 傅里叶级数， 那 我 发明过 一个 方法， 只是 还没有 具体 展开研究， 也没有写成文章 。
而 在 想到 这个 方法之前， 我 写了 《一个 周期信号 分解为 若干个 正弦信号》 https://tieba.baidu.com/p/6698544745 ， 在 这篇文章 里， 提出了 “特征分量” 的 概念， 特征分量 和 傅里叶级数 是 不一样 的 。
我在 《我邀请 民科吧 网友 来 反相吧 数学探讨 和 数学辩论》 https://tieba.baidu.com/p/6407504187 的 10 楼 13 楼 14 楼 讨论过 傅里叶级数 。
在 13 楼 也 提出了 3 种 傅里叶级数 分解法，
“
傅里叶级数 分解法 可以有 若干种， 比如 ：
1 传统的方法， 好像就是 傅里叶变换 ， 还有 小波分解 什么的，
2 我在 10 楼 提到的 方法
3 规划， 规划 是 计算机程序 为主 的 方法， 基于 特征 。 简单的 规划 可以 算为 专家系统， 自主学习 的 规划 可以算为 人工智能 。
”
我 构思过 《离散泛函》， 还没写， 规划 是 离散泛函 里 的 主要内容 。
至于 “如果能引入傅里叶变换与姿态变换相结合，感觉蕴含着某些能量，可惜学艺不精也没应用场景，只有期待大神们去发掘了。”
就 “引入傅里叶变换与姿态变换相结合” 而言， 我觉得 还不如 规划 （滑稽）， 我写过 《魔方算法》， 需要的话 明天再发， 今天 发言 太多了 （滑稽） 。
工程 上 把 规划 用好 已经 很强大 了 。
未完， 楼下 继续 回复 。

接 6 楼 @dons222 ，
“最开始我也和傅里叶同时代的人一样，认为很不靠谱，但实际证明它在实际应用中屡试不爽，关键是它可以把自己用其他办法解决不了和解决不好的事轻易解决处理好，不得不服”
我 前几天 想到的是， 大自然 用 一维 的 信号量 来 表示 丰富多彩 无穷无尽 世间万象 的 声音，不得不服 。 啊哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈 。
当然， 振动 + 时间 是 两个 量， 是 二维坐标系 。

回复 4 楼 @dons222 ，
你一说， 我想起来了， 要 计算 旋转 平移 的 是 模型 上 很多的 点 ， 不是 一两个 点， 所以 大批量封送 到 GPU 计算 。 如此， 如果 是 有 加法 也有 乘法， 也许 加法 要 封送一次，乘法 要 封送一次， 加法 和 乘法 之间 交换数据 会 产生 一些 中间环节 。
我想 偏心旋转 仍然 是 2 次 旋转组成， 以 无限远 的 地方 为 原点 旋转一次， 以此 平移， 以 实际要旋转的 “支点” 为 原点 旋转一次， 以此 旋转 。
对于 以 无穷远 的 地方 为 原点 旋转坐标系 的 问题， 我 首先 想到的 是 精度， 即 计算机 的 运算精度， 比如 浮点数 的 精度 ， 即 有效数字位数 。
一直以来， 我一直 有一个 担心， 也 没 完全 搞清楚， 一些 缩放法， 是否 最终 都是 在 拼 精度 ？ 如果 计算机 的 精度 不够， 比如 浮点数 的 有效数字 不够， 则 缩放 也许 是 “缩前放后一个样” ， “竹篮打水一场空”， 收不到 实际 的 效益 ？
32 位 浮点数 的 有效数字 范围 大概 是 - 20 亿 ~ 20 亿 ， 64 位 是 - 400 亿亿 ~ 400 亿亿 ， 如果 把 “无穷远” 设为 400 亿亿， 那么， 旋转 产生 的 近似平移 的 距离 可以 精确到 1， 或者说 个位数， 两者 比值 是 400 亿亿 : 1 ， 好像 很 可观 。
但 到底 和 精度 有没有 关系 呢 ？ 我还是 没 搞清楚 。
第二， 理论上， 以 二维坐标系 为例， 设 物体 A 的 坐标 是 ( Xa, Ya ) ， Xa > 0 , Ya > 0 ， 物体 A 可以看作一个点 。 A 在 y 方向 上 离 原点 很远，即 Ya 很大 ， 在 x 方向 上 离 原点 很近， 即 Xa 很小， 坐标系 围绕 原点 旋转一个 很小 的 角度 θ， 旋转后 A 的 坐标 是 ( Xa ′, Ya ′ ) ， ⊿ x = Xa ′ - Xa ， ⊿ y = Ya ′ - Ya ， 要 满足 ⊿ x 远大于 ⊿ y， 才能 用 旋转 来 近似 平移 。
数学上， 可以表述为， Ya -> 无穷， θ 是 无穷小， 和 Ya 同阶， 试证明， ⊿ x 是 有 确定大小 的 值， ⊿ y 是 无穷小 。
也可以 等价 的 表述 为， Ya 是 有确定大小 的 值， θ -> 0 ， 试证明， ⊿ x 是 无穷小， ⊿ y 是 高阶无穷小 。
二维坐标系 旋转 公式 主要 是 和角公式， 三维坐标系 旋转 可以由 三次 二维坐标系 旋转 合成 。
可以看到一个问题， 无论 二维 还是 三维， 都 需要 在 一个 坐标轴 方向 上 物体 离 原点 很远， 才能 用 旋转 近似 另一个（其它） 坐标轴 上 的 坐标平移 。
物体 离 原点 很远 的 这个 方向 的 坐标轴 的 坐标 平移 不能 通过 旋转 近似 。
比如， x - y - z 坐标系， 让 物体 在 z 轴 方向上 离 原点 很远， 则 可以用 旋转 来 近似 物体 在 x 轴方向 、y 轴方向 上 的 平移， 但 不能用 旋转 来 近似 物体 在 z 轴方向 上 的 平移 。
也就是， 我们 正对 物体， 物体 离 我们 很远， 可以让 我们 或 物体 旋转 来 近似 物体 相对于 我们 的 左右移动 上下移动， 但是 不能 用 旋转 来 近似 物体 朝 我们 靠近 或 远离 的 移动 。
这里 涉及 的 证明 大家 都会， 但 我还是 写一下， 后面连载 。 （不一定 天天连载， 可能 隔几天 连载一次）

接 9 楼 。 @dons222
用 一次 旋转 来 实现 平移 + 旋转 是可以的，只要 选择 合适 的 支点 就行 。



未完待续 。

接 10 楼 。
9 楼 的 要 证明 的 数学题目， 简单的， 可以这样来证 ：

⊿ x = BH， ⊿ y = AH， 证明 θ -> 0 时， BH 是 无穷小， AH 是 高阶无穷小 。
实际上 就是 证明 θ -> 0 时， sin θ 是 无穷小， 1 - cos θ 是 高阶无穷小 ， 或者说， 求 ( 1 - cos θ ) / sin θ , θ -> 0 的 极限， 哈哈 。
当 θ -> 0 时， 1 - cos θ -> 0 ， sin θ -> 0 ， 用 洛必达法则
( 1 - cos θ ) / sin θ , θ -> 0
= ( 1 - cos θ ) ′ / ( sin θ ) ′
= sin θ / cos θ
= sin 0 / cos 0
= 0 / 1
= 0
即 ( 1 - cos θ ) / sin θ , θ -> 0 的 极限 是 0， ( 1 - cos θ ) / sin θ , θ -> 0 是 无穷小， 所以 1 - cos θ 是 sin θ 的 高阶无穷小 。
那 1 - cos θ 比 sin θ 高了 几阶 呢 ？ 可以这样看 ：
( 1 - cos θ ) / θ ² , θ -> 0
过程略
= 1/2
所以 θ -> 0 时， 1 - cos θ 和 θ ² 是 同阶无穷小， 而 θ ² 比 θ 高了一阶， 所以 1 - cos θ 比 θ 高了一阶， 又 θ 和 sin θ 是 等价无穷小， 所以 1 - cos θ 比 sin θ 高了一阶 。
严格一点， A 点 不一定 在 y 轴 上， 这要用 和角公式 证， 后面连载 。
刚在 10 楼 的 回复 中 和 @dons222 讨论， 现在 的 需求 看起来是， 在 三维 下 要 求出 一次 旋转 等价于 平移 + 旋转 的 支点 和 围绕 3 个 坐标轴 旋转 的 角度 。
在 模型 上 找一点 A， 坐标为 ( Xa, Ya, Za ) ， 计算 A 点 平移 + 旋转 后 的 的 坐标 ( Xa ′, Ya ′, Za ′ ) ，
设 坐标系旋转公式 为
x ′ = f ( X支, Y支, Z支, θx, θy, θz, x )
y ′ = f ( X支, Y支, Z支, θx, θy, θz, y )
z ′ = f ( X支, Y支, Z支, θx, θy, θz, z )
x, y, z 为 某点 旋转前 的 坐标， x ′, y ′, z ′ 为 旋转后 的 坐标， X支, Y支, Z支 为 支点坐标 ， θx, θy, θz 为 围绕 x, y, z 坐标轴 旋转 的 角度 。
这样， 可以 列 一个 方程组 ：
Xa ′ = f ( X支, Y支, Z支, θx, θy, θz, Xa )
Ya ′ = f ( X支, Y支, Z支, θx, θy, θz, Ya )
Za ′ = f ( X支, Y支, Z支, θx, θy, θz, Za )
Xa, Ya, Za ， Xa ′, Ya ′, Za ′ 是 已知数， X支, Y支, Z支, θx, θy, θz 是 未知数 。
有 6 个 未知数， 因此 还要 再找一点 B ( Xb, Yb, Zb ) ， 同样 计算出 平移 + 旋转 后 的 坐标 ( Xb ′, Yb ′, Zb ′ ) ， 再列 3 个 方程， 这样 就 是 6 个 方程， 组成了 6 元方程组，
解这个 方程组， 可以 求得 支点 ( X支, Y支, Z支 ) 和 旋转角度 θx, θy, θz 。
以 ( X支, Y支, Z支 ) 为 支点 旋转 θx, θy, θz ， 这样一次 旋转 的 效果 等价于 平移 + 旋转 。

@dons222 @思维机器， 看了 11 楼 13 楼 的 回复， 对 你们 的 架构 就 比较清楚了 。 大概 是 这样， 有一个 全局坐标系 O， 在 O 里 有一个 固定 位置 和 角度 的 镜头， 要 从 不同 位置 和 姿态（角度） 观察 物体 时， 可以先在 O 系 里 平移物体， 再 选取一个 新的 坐标系 O ′ ， 以 O ′ 为 支点 旋转 物体， 然后 再由 O 系 里 的 镜头 观察 ， 观察 指 透视成像 。
O 系 的 平移 和 O ′ 系 的 旋转 可以让 物体 相对于 镜头 处于 任何 位置 和 姿态（角度） 。
现在 dons222 的 需求 是 把 O 系 的 平移 省掉， 用 O ′ 的 一次旋转 就 可以起到 O 系 平移 和 O ′ 系 旋转 的 效果 。
其实 可以有 2 种 架构，
1 移动镜头， 平移 和 旋转 镜头 使之 在 需要 的 位置 和 角度 对着 物体， 这个 方法 的 优点 是 不需要 物体 的 大量点 计算 平移， 也 不需要 物体 的 大量点 的 O 系 和 O ′ 系 之间 的 坐标变换 。 只需要 计算 镜头 的 平移 和 旋转， 这只 需要 计算 几个点 。 镜头 对好 物体 后， 直接 透视成像 就可以 ， 透视成像 使用 O 系 坐标 。
2 固定镜头， 对 物体 平移 和 选取 O ′ 让 物体 旋转 使 物体 移动 到 指定 的 位置 和 旋转 到 指定 姿态（角度）， 然后 由 固定镜头 透视成像 。 这个 方法 需要 做 物体 的 大量点 在 O 系 里 的 平移计算， 然后 还要 把 物体 的 大量点 的 O 系 坐标 转换成 O ′ 系 的， 然后 在 O ′ 里 旋转 物体， 这需要 计算 物体 大量点 的 旋转， 再 把 旋转后 的 物体 大量点 的 O ′ 系 坐标 转换回 O 系 坐标， 然后 由 O 系 的 固定镜头 透视成像 。
方法 1 只能 用于 整个场景（所有 物体） 的 位置 和 角度 一起改变 的 场合， 方法 2 可以用于 分别 对 一些 物体 移动 和 旋转 不同的 位置 和 姿态（角度） ， 再 一起 观察（透视成像） 的 场合 。
接下来 分析 二维 和 三维 上 能不能 通过 一次旋转 实现（等价） 平移 + 旋转 。
先看 二维， 目前 的 结论 是 可以 ， 但 具体 的 证明 没有写， 可以来看 一个 例子 ：

AB 先 平移， 再旋转， 到 A ′ B ′ 的 位置 。 A ′ 在 AB 的 延长线 上， AB 和 A ′ B ′ 垂直 。 能不能 找到 一个 支点 O2 ， 让 AB 围绕 O2 旋转， 一次 旋转 就可以 让 AB 旋转到 A ′ B ′ ， 和 A ′ B ′ 重合 ？
乍一看， 好像 不行， 找不到 合适 的 支点 O2， 但 实际上 是 可以的 。
再来 看 三维， 目前 的 结论 是 不行， 可以这样 证明 ：
一次 三维旋转 由 3 次 二维旋转 组成， 在 三维空间 里 取 一段 线段 AB， 再在 另一个 地方 取 同样 长度 的 一段 线段 A ′ B ′ ， 假设 一次 三维旋转 可以 让 AB 旋转 到 A ′ B ′ 处 并 和 A ′ B ′ 重合， A 和 A ′ 重合， B 和 B ′ 重合， 这 需要 3 次 二维旋转， 也可能 只要 2 次 或 1 次， 不管怎样， 最后一次， 必然 是 一个 二维平面 上 让 AB 和 A ′ B ′ 旋转重合 。
比如， 最后一次旋转 是 围绕 z 轴 旋转， 在 x - y 平面 或 平行于 x - y 平面 的 平面 上 旋转， 这个 平面 记为 P， z 轴 和 P 的 交点 记为 Op， 根据 上文 讨论 的 二维 上 一次旋转 实现（等价） 平移 + 旋转 的 原理， P 上 的 AB 和 A ′ B ′ 要 旋转重合， 要 选择一个 正确的 支点 O2， 而 这个 O2 很可能 并不和 Op 重合， 如此， 围绕 O2 的 旋转 就不是 围绕 z 轴 的 旋转， 也就是 围绕 O2 旋转 使 AB 和 A ′ B ′ 重合， 但 围绕 O2 旋转 不是 围绕 z 轴 旋转 。
所以 一次 三维旋转 不能 实现 （等价） 平移 + 旋转 。
还需要 补充 一点， 三维旋转 的 3 次 二维旋转 可以 有 6 种 旋转顺序， 比如 先围绕 x 轴 旋转， 再围绕 y 轴旋转， 再围绕 z 轴旋转， 记为 x -> y -> z， 还有 x -> z -> y , y -> x -> z , y -> z -> x , z -> x -> y , z -> y -> x 。 不同 的 顺序 旋转的 结果 （AB 的 位置 和 姿态 ( 角度 ) ） 是 不一样 的 。
但 总可以举出例子 （AB 和 A ′ B ′ ）， 使得 无论 以 何种 顺序 旋转， 最后 一次 二维旋转 都会 出现 上述 的 O2 不和 Op 重合 的 情况 。
以上 证明 一次 三维旋转 不能 实现 （等价） 平移 + 旋转 。
这次 写 的 时间长 是 想的多， 一些 中间过程 也 推翻重来， 没有 写出来 。

我开了个新帖来专门讨论，你可以在那里面回复@K歌之王😈 @散步的鱼🌴
三维坐标系由一次转动代替“平动 转动”是...