数学问题，连接两个点的曲线旋转所成曲面中，面积最小的曲线是什

我一开始还在想旋转方式，题目没有给出旋转方式，原来是 围绕 轴 旋转

我以为这帖和另外那帖是一个题，原来不是 … 一个是 体积，一个是 面积。面积的话，如果 A B 两点都在 x 轴上？ 是不是要加一个 限制条件 ？

楼主的题意可能是要利用 曲线长度 和 曲面半径 （曲线上每一点旋转的半径） 之间的 制约平衡 关系，但无论如何，论“最小”，“工字型” 无敌，其实题目应该改成 求 “最大”，在 “工字型” 的 范围内，什么曲线 旋转产生的曲面 面积最大 ？

回复 10 楼， 简单的情况， A B 点 的 y 坐标相同， 那么， 最小面积 解 出现在 AB 线段（一字型） 和 轴为 x 轴 的 工字形 之间， 也就是 线段 AB 和 折线 ACDB 之间 。

AB 间 距离 记为 AB， AC 长度 记为 R， EC 长度 记为 r， AB > 0 , R > 0 , R > r , r >= 0 。 可以证明， 只要满足 AB > R - r ， 折线 AEFB 的 旋转面积 总可以 小于 线段 AB 的 旋转面积 。 也就是说， 无论 AB 间 的 距离 多小， 总是 可以有 折线 AEFB 旋转的面积 比 线段 AB 旋转 的 面积小 。
还可以 证明， 当 r = R - AB / 2 时， 折线 AEFB 的 旋转面积 取 极值点（极小值）， AEFB 旋转面积 最小 。
显然， 当 r > 0 时， E 在 AC 上 ； 当 r = 0 时 ， E 和 C 重合， EF 和 CD 重合； 当 r < 0 时， E 在 AC 的 延长线 上， 这种情况 实际中 也就是 EF 和 CD 重合 ， 此时 AEFB 旋转面积 虽然 不是 极小值， 但是是 最小值 。
第一个 证明 是一个 一元一次不等式， 第二个证明 是 二次函数 求 极值， 不等式 和 二次函数 都是 根据 AEFB 旋转面积 公式 列的， 过程 就不写上来了 。
以上说明， 在 AC 上 存在 一点 E， E 不和 A 重合， 使得 折线 AEFB 的 旋转面积 最小 。
这是 折线 的 最小解， 曲线 的 最小解 可能 比 折线 的 最小解 大 或 小 或 相等， 这个 是 不确定 的， 需要 数学 上 证明 。
但 从 折线 可以 看到 一些 趋势， 比如 曲线 的 最小解 也 可能 只有 一个 。

宇心 （@星野梦美a） 的 面积元 是 有问题， 还有 那个 求偏导 太帅了， 干净利落 不知所措， 哇哈哈哈哈 。
还有 那个 分段函数 是 什么鬼 ？

本来想 从 折线 的 状况 推导出 曲线 的一些 状况， 但 严格的说， 似乎行不通 。 从 折线 的 状况 推想出 曲线 的 状况 归根结底 似乎 总是 感性 和 经验 的 。
当然， 由于 时间关系（从 昨天 到 今天）， 这个 结论 也是 初步的， 想的 也许 还不透彻， 也许 有很多 没想到， 还要 继续 思考 研究 。

我在 18 楼 想 证明 的 命题 是 ， 任取一条 折线 AEFB ， 总能 找到（作出） 至少 一条 旋转面积 与之 相等 的 曲线 。 AEFB 和 线段 AB 、折线 ACDB 是否重合，这些细节可以自行决定 。
我希望 仅利用 对 折线 的 分析 来 证明 这个 命题 。 对 折线 的 分析 见 14 楼 。
这个 命题 挺重要的 ， 它 能让 我们 很快 的 知道 题目 的 状况 和 曲线 的 性质 。
如果 只 通过 对 折线 的 研究 就能 证明 这个 命题 ， 是 很有意义 的 。
折线， 当然 内容也很多， 但， 如果 只 利用 14 楼 对 线段 AB 、折线 AEFB 、折线 ACDB 的 分析， 只 利用 这样 的 模型 ，能不能 证明 这个 命题 ？ 这本身也是一个 有趣 的 问题 呢 。

直接 去套 欧拉-拉格朗日 方程 第二种 形式 是 无聊 和 乏味 的， 欧拉-拉格朗日 方程 封装了 事物 的 变化 和 复杂性， 将 我们 与 事物 的 变化 和 复杂性 隔离开来 。
我们 可以 这样 来 玩， 把 一根皮筋 拴 在 AB 上， 一头 拴 在 A 点， 另一端 拴 在 B 点 ， 从 皮筋 的 中点 向下拉扯 皮筋 ， 皮筋 拉伸 变形 为 曲线， 我们 观察 和 研究 拉伸 过程 中， 随着 皮筋（曲线） 形状 的 变化， 旋转面积 的 大小 如何 变化 ？ 我想 也能 看到 由大到小， 又 由小到大 的 过程 。
我们 还可以 控制 对 皮筋 的 拉伸， 使之 呈现 不同 的 形状变化 。
在 数学 上， 我们 可以 添加 一些 函数 把 线段 AB 变成 曲线， 这就是 “拉伸”， 我们 观察 和 研究 各种 拉伸 过程 中 旋转面积 的 大小 变化 和 极值点 。
看 按 f ( x ) 使 AB 弯曲 的 旋转面积 极小值 和 按 g ( x ) 使 AB 弯曲 的 旋转面积 极小值 ， 哪个 更小 ？
可以 弄 出 一些 函数 让 AB 弯曲 ， 比如 g1 (x) , g2 (x), g3 (x) …… ， 看 这组 函数 中 每个函数 导致 的 旋转面积 变化 和 极小值 ，
也可以 再弄一组 函数， 比如 f1 (x), f2 (x) , f3 (x) ……
f 组 和 g 组 还可以 团体 比较一下 。
唯一 的 最小解 我们并不稀罕， 我们 更关心 广泛 的 离散种子 的 变化趋势 、生存状况 、 活力 和 生命力 。
可以把 这些 种子 叠加起来，像 级数一样， 也就是 把 g1 (x) , g2 (x), g3 (x) …… f1 (x), f2 (x) , f3 (x) …… 叠加起来， 看 旋转面积 的 变化 和 极值点 又如何 ？
我们可以 去 任意 的 叠加 它们 。
可以 给 这些 叠加后 的 （效果） 样本 计算 一个 “方差”， 这样 的 结果 会不会 接近 “唯一 的 最小解” ？
哎 ， 这 快变成 概率统计课 了 。
其实 用 n 元函数极值定理 应该 也可以 得到 和 欧拉-拉格朗日 方程 第二种 形式 一样 的 结果， 也就是 那个 唯一的 最小解 。
n 元函数极值定理 见 《二元函数 的 极值点 怎么求 ？》 https://tieba.baidu.com/p/6748535933 。

理论分析一下:
设两个点在绕转轴ⅹ轴一侧，且不会出现y=f(ⅹ)中y₁、y₂异号的情型。简单的认为两个点P₁、P₂的坐标依次为P₁(0，y₁)，P₂(h，y₂)，且y₁、y₂均大于0。
如果是凵型，则有S=πy₁²+πy₂²；
如果是圆台侧面，则有S=π(y₁+y₂)L，母线长L=[h²+(y₂-y₁)²]^(0.5)。
很明显S应该是与h有关的，理论上S与曲线弧长有关。