思路如下:
由(1)可得一个包括1,-1组成的随机序列,比如记录为1,-1,-1,1.....
由(2)可知这个序列中1、-1出现的概率各一半。
所以由排列组合,若序列长度为 n,则每个序列出现的概率为:1/2^n.
Sn得到的结果其实就是自然数进制乘以1或-1之和。
比如n=3,S(1,1,1)=3+2+1=6,
再比如n=5,S(1,1,1,1,1)=5+4+3+2+1=15,S(1,1,-1,1,-1)=5+4-3+2-1=7......
即S(an,...a2,a1)的结果是:an*n+...+a2*2+a1*1
由于S的全序列中有些计算结果是相同的,S(an,....,a2,a1)=S(bn,...b2,b1),则有:
(an-bn)*n+...+(a2-b2)*2+(a1-b1)*1=0,忽略am=bm(m=1~n)同为1或-1的部分,就只要比较相同位置上1或-1不同的。∑(am-bm)*m,其中m为小于等于n的自然数。这样可以看出:相对于全1的序列,如:S(1,1,1,1,1)比 S(1,-1,1,1,1)第4位不同,S(1,1,1,1,1)-S(1,-1,1,1,1)=2*4,另外4又可以写成1+3(小于n的不同自然数之和),那么S(1,1,1,1,1)-S(1,1,-1,1,-1)=2*(3+1),S(1,-1,1,1,1)实际上和S(1,1,-1,1,-1)的结果是一样的,计算出来分别是:5-4+3+2+1=5+4-3+2-1=7,由于(1,-1,1,1,1)和(1,1,-1,1,-1)出现的概率也都是1/2^5,那么这两个序列出现相同结果概率就是两者之和,2/2^n。
总结下来就是俺的结论:概率与自然数k可以分解为小于等于n的不重复的自然数之和的个数m有关,为m/2^n。