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有限单群分类是从20世纪中期开始到21世纪初，数学界着重研究的课题之一。这项课题由事实证明是十分困难且冗长的：其证明过程长达一万多页，由上百位数学家的数百篇文献构成。此课题致力于将有限单群按照其性质进行分类。这里，单群指那些正规子群仅为单位元和其本身的群，而如果单群的阶（元素数量）有限，就称为有限单群。有限单群的作用和素数类似，因为所有的有限群都可以由有限单群生成，就像所有自然数都可以表示为素数的乘积一样（两者的作用稍有区别，详见维基页面）。
研究最后的成果是，所有有限单群都归属于以下中的一类：
1. 素数阶循环群（C_p）；
2. 不小于5个元素的交错群（A_n，n≥5）；
3. 李型的有限单群，再分为16个无限族；
4. 散在单群，共26个。
散在单群就是不属于上述1,2,3任何一类的奇特单群。其构造方法各异，又可以细分为几类：
1. 马蒂厄群（Mathieu Groups），共5个，由法国数学家马蒂厄（Mathieu）于19世纪后半发现；
2. 里奇晶格（Leech Lattice），共7个，由英国数学家里奇（Leech）于1967年发现并发表论文；
3. 魔群（Monster Group）的其他子群，共8个；
4. 不是魔群的子群的其他散在单群，共6个。
上面1,2,3三类统称Happy Family，第四类称为Pariahs，意为“孤儿”。
其中，最大的散在单群——魔群被划分在上面第三个分类中。魔群的阶数超过8×10^53，需要196883维来描述其忠实表示。第二大的散在单群——小魔群（Baby Monster Group）是魔群最大的子群，其阶数超过4×10^33，其忠实表示至少有4370维。
数学中关于魔群忠实表示的最小维数196883，提出过著名的魔群月光猜想（Monstrous Moonshine Conjecture），于1992年得以证明，揭示了数学中看似毫无关联的两个领域之间的深刻联系。
参考资料：
https://www.bilibili.com/video/BV1Rh411R7KL
【官方双语】群论与808017424794512875886459904961710757005754368000000000
https://en.wikipedia.org/wiki/Classification_of_finite_simple_groups
有限单群分类是从20世纪中期开始到21世纪初，数学界着重研究的课题之一。这项课题由事实证明是十分困难且冗长的：其证明过程长达一万多页，由上百位数学家的数百篇文献构成。此课题致力于将有限单群按照其性质进行分类。这里，单群指那些正规子群仅为单位元和其本身的群，而如果单群的阶（元素数量）有限，就称为有限单群。有限单群的作用和素数类似，因为所有的有限群都可以由有限单群生成，就像所有自然数都可以表示为素数的乘积一样（两者的作用稍有区别，详见维基页面）。
研究最后的成果是，所有有限单群都归属于以下中的一类：
1. 素数阶循环群（C_p）；
2. 不小于5个元素的交错群（A_n，n≥5）；
3. 李型的有限单群，再分为16个无限族；
4. 散在单群，共26个。
散在单群就是不属于上述1,2,3任何一类的奇特单群。其构造方法各异，又可以细分为几类：
1. 马蒂厄群（Mathieu Groups），共5个，由法国数学家马蒂厄（Mathieu）于19世纪后半发现；
2. 里奇晶格（Leech Lattice），共7个，由英国数学家里奇（Leech）于1967年发现并发表论文；
3. 魔群（Monster Group）的其他子群，共8个；
4. 不是魔群的子群的其他散在单群，共6个。
上面1,2,3三类统称Happy Family，第四类称为Pariahs，意为“孤儿”。
其中，最大的散在单群——魔群被划分在上面第三个分类中。魔群的阶数超过8×10^53，需要196883维来描述其忠实表示。第二大的散在单群——小魔群（Baby Monster Group）是魔群最大的子群，其阶数超过4×10^33，其忠实表示至少有4370维。
数学中关于魔群忠实表示的最小维数196883，提出过著名的魔群月光猜想（Monstrous Moonshine Conjecture），于1992年得以证明，揭示了数学中看似毫无关联的两个领域之间的深刻联系。
参考资料：
https://www.bilibili.com/video/BV1Rh411R7KL
【官方双语】群论与808017424794512875886459904961710757005754368000000000
https://en.wikipedia.org/wiki/Classification_of_finite_simple_groups
