小梦 在 民科吧 发了一个 用 四则运算 开平方 的 帖

浮点数精度多少啊？你编程编糊涂了？

回复 2 楼 @贴吧用户_5V6aAGy ，
数据 的 长度 不是 重点， 我想说的是， 如果 不利用 和平方 公式 的 话， 你们 的 那些 什么 插值法 二分法 等等 的 所谓 “数值计算” “数值分析” 方法 的 性能 都 存在问题 。
如果要 对 n 开平方， 当 n 的 位数 很多 时 ， 你们 的 时间复杂度 会 很大 。

80 年代 的 计算器 已经有了 开平方 的 功能， 那是 用 硬件电路 实现 的 。 只能说， 80 年代 的 水平 真的 高 啊 ！
我们现在 用 Power Shell 、Python 玩 这些 ……
我们可以 玩 个 升级版 的， 设计一个 算法， 用 硬件电路 实现 这个 算法， 硬件电路 的 部分 只要 设计 逻辑电路 就可以， 就是说， 画出 逻辑电路 的 设计图 。
小梦， 如何 ？
@绮梦璇😾 （绮梦璇） @夸kiss♀♀ （青莲剑歌） @陈彼方º （陈彼方） @贴吧用户_5V6aAGy

算它无限位，牛B吹上了，实际没动作，被打脸了吧！

回复 7 楼 @贴吧用户_5V6aAGy ，
先用 byte 数组 实现一个 无限位数 的 浮点类型， 这个 浮点类型 只要求 有 加 操作， 主要 是 实现 进位 。
不要求 有 其它 操作， 比如 减 、乘 、除 等 。
这样 ， 这个 浮点类型 还是 容易 实现 的 。
然后， 再用 先人 的 开方法 。

其实以前有人用普通计算器的加减乘除就可以手动开平方

回复 9 楼 @别问是劫是缘 ，
我将 根据 杨辉三角 开任意次方 的 方法 称为 杨辉三角 开方法 。
我想了一下 杨辉三角 开方法 的 步骤， 还是有一点 繁琐 的 。 以 开平方 来说， 在 迭代开方 的 过程中 ， 除了有 余量， 还有一个 累积量 。
这个 累积量 会 增加 一些 步骤， 也就是 会 增加 一些 时间复杂度 。
但不管怎么说， 杨辉三角 开方法 是 一个 正统 的 方法 。 它 的 好处 是 它 是 一个 “级数” 。
虽然 累积量 会 增加 一些 时间复杂度， 但是， 总的来说， 当 开方结果 的 位数 很大 时， 它 的 效率 仍然 优于 一般 的 数值分析 方法 。
累积量 是 一个 级数， 开方结果 也是 一个 级数， 开方结果 级数 里 包含了 累积量 级数 。
在 开高次方 时， 杨辉三角 开方法 的 累积量 有 多个， 比如 开 n 次方， 则 有 n - 1 个 累积量， 从 n - 1 次方 到 1 次方， 每个 次方 有一个 累积量 。
此时， 累积量 的 计算步骤 （公式） 会 膨胀 变得 复杂， 累积量 的 数值 也会 膨胀 急剧 增大， 这会让 程序 变得 复杂， 也会 增加 时间复杂度， 但是， 理论上， 仍然 可以用 杨辉三角 开方法 写出 无限位数 开任意次方 的 程序 。
累积量 也是 余项系数 。

回复 10 楼 @别问是劫是缘 ，
比如 开三次方， a ³ 可以写成
a ³ = ( a1 + b ) ³
= a1 ³ + 3 a1 ² b + 3 a1 b ² + b ³ ，
a1 已知， b 未知 。
这里 产生了 一个 b 的 一次项 3 a1 ² b ， 一个 b 的 二次项 3 a1 b ² ，
开 n 次方 会 产生 n 个 余项， 最后一个 n 次方 的 余项 的 系数 永远 是 1， 不用管 。 需要 累积 系数 的 余项 是 前面 的 n - 1 个 。
开三次方 会 产生 3 - 1 = 2 个 需要 累积 系数 的 余项， 这里 是 第一次 迭代， 3 a1 ² b 、3 a1 b ² 就是 第一次 迭代 时 产生 的 这 2 个 余项 。
令 b = b1 + c ， 则，
a1 ³ + 3 a1 ² b + 3 a1 b ² + b ³
= a1 ³ + 3 a1 ² ( b1 + c ) + 3 a1 ( b1 + c ) ² + ( b1 + c ) ³
= a1 ³ + 3 a1 ² ( b1 + c ) + 3 a1 ( b1 ² + 2 b1 c + c ² ) + b1 ³ + 3 b1 ² c + 3 b1 c ² + c ³
= a1 ³ + 3 a1 ² b1 + 3 a1 ² c + 3 a1 b1 ² + 3 a1 * 2 b1 c + 3 a1 c ² + b1 ³ + 3 b1 ² c + 3 b1 c ² + c ³
可以看到，
3 a1 ² ( b1 + c ) 中 产生了 c 的 一次项 3 a1 ² c ，
3 a1 ( b1 + c ) ² 中 也 产生了 c 的 一次项 3 a1 * 2 b1 c ，
( b1 + c ) ³ 中 也 产生了 c 的 一次项 3 b1 ² c ，
这 3 个 一次项 可以 合并为 一个， 这个项 就是 本次 迭代 产生 的 一次余项 。
同理，
3 a1 ( b1 + c ) ² 中 也 产生了 c 的 二次项 3 a1 c ² ，
( b1 + c ) ³ 中 也 产生了 c 的 二次项 3 b1 c ² ，
这 2 个 二次项 可以 合并为 一个， 这个项 就是 本次 迭代 产生 的 二次余项 。
接下来 的 开方过程 是 令 c = c1 + d ， 重复 上述过程 。
所以， n - 1 个 累积量， 也就是 余项系数， 可以用 一个 长度 为 n - 1 的 数组 保存， 但 每一个 余项系数 都 是 由 上述 的 迭代过程 计算产生， 这个 迭代计算 过程 比较 繁琐， 如果 能将 这个 迭代过程 归纳为 公式， 大概 是 一个 数列 的 通项公式 。
如果 不能 把 余项系数 的 计算过程 归纳 为 通项公式， 那么， 每 迭代一次， 余项系数 的 公式 就会 ”膨胀“ 一点， 当然， 这只是一个 形象 的 比喻 。
另一方面， 从上面的 计算过程 可以看出， 余项系数 是 相乘 一个 倍数 之后 再 相加， 得到 新的 余项系数 。 这可以看作是 成倍增长， 也差不多是 几何级数 。 这是 数值 上 的 ”膨胀“ 。
余项系数 膨胀 的 速度 和 开方 的 次方 有关， 次方 越大， 余项系数 膨胀 的 越快 。
另外， 次方 越大， 余项 越多， 一个 余项 需要 合并 的 项 也 越多 。

小梦 在 《民科编程大赛：用四则运算开平方》 https://tieba.baidu.com/p/6809881927 的 20 楼 说 这是 “用泰勒级数进行逼近运算” ：

这是 泰勒级数 ？ 这不像是 泰勒级数， 这像是 一个 有 二分性质 的 迭代逼近 算法 。
这个 算法 是， 设 b 为 被开方数， 任取一个 正数 a， 令 c = b - a ² / ( 2 a ) ， 令 a = a + c ， 重复若干次 这个过程， a 就 很接近 b 的 平方根 了 。
这个 算法 适合 在 计算器 上 使用， 简单， 容易 由 程序 或者 逻辑电路 实现 。
@绮梦璇😾 （绮梦璇） @贴吧用户_5V6aAGy

废话那么多，等到花儿都谢了，还没做出来，真的让人着急。下面看看，我对2开方700位，刚好一屏。

回复 12 楼 @绮梦璇😾 （绮梦璇）
一阶泰勒展开式 ？ 就是 泰勒级数 的 第一项 吧 ？ ( b - a ² ) / ( 2 a ) 这个式子 看起来 像 泰勒级数 第一项 ， 但 这只是 “形似”， 实际上 和 本题 没有关系 。
第二， 你 利用 ( b - a ² ) / ( 2 a ) 循环迭代， 这不是 泰勒级数， 可以叫做 “小梦级数”， 你的 滑稽 表情 说明了 这一点 。
第三， 你能 证明 这个 迭代 的 极限 是 根号 b 吗 ？

回复 13 楼 @贴吧用户_5V6aAGy ，
Congratulations ! But, Talk is great , believe me ...
设 a 为 中间结果， 也是 最终结果， 你的 这个算法 避免了 每次迭代 都要 计算 a ² 吗 ？