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搬运一点干货,《海岛算经》
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作者简介
以下内容搬运自百度百科
刘徽(生于公元250年左右),是中国数学史上一个非常伟大的数学家,在世界数学史上,也占有杰出的地位.他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》,是我国最宝贵的数学遗产。
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作品简介:
《海岛算经》由刘徽于三国魏景元四年(公元263年)所撰,本为《九章算术注》之第十卷,题为《重差》。唐初开始单行,体例亦是以应用问题集的形式。研究的对象全是有关高与距离的测量,所使用的工具也都是利用垂直关系所连接起来的测竿与横棒。有人说是实用三角法的启蒙,不过其内容并未涉及三角学中的正余弦概念。所有问题都是利用两次或多次测望所得的数据,来推算可望而不可及的目标的高、深、广、远。此卷书被收集于明成祖时编修的永乐大典中,现保存在英国剑桥大学图书馆。刘徽也曾对九章算数重编并加以注释。
《海岛算经》共九问。都是用表尺重复从不同位置测望,取测量所得的差数,进行计算从而求得山高或谷深,这就是刘徽的重差理论。《海岛算经》中,从题目文字可知所有计算都是用筹算进行的。“为实”指作为一个分数的分子,“为法”指作为分数的分母。所用的长度单位有里、丈、步、尺、寸;1里=180丈=1800尺;1丈=10尺:1步=6尺,1尺=10寸。
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第一题:
今有望海岛,立两表,齐高三丈,前后相去千步,令后表与前表参相直。从前表却行一百二十三步,人目着地取望岛峰,与表末参合。从后表却行一百二十七步,人目着地取望岛峰,亦与表末参合。问岛高及去表各几何?
答曰:岛高四里五十五步;去表一百二里一百五十步。
术曰:以表高乘表间为实;相多为法,除之。所得加表高,即得岛高。求前表去岛远近者:以前表却行乘表间为实;相多为法。除之,得岛去表数。
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第二题
今有望松生山上,不知高下。立两表齐,高二丈,前後相去五十步,令後表与前表参相直。从前表却行七步四尺,薄地遥望松末,与表端参合。又望松本,入表二尺八寸。复从後表却行八步五尺,薄地遥望松末,亦与表端参合。问松高及山去表各几何?
答曰:松高一十二丈二尺八寸;山去表一里二十八步、七分步之四。
术曰:以入表乘表间为实。相多为法,除之。加入表,即得松高。求表去山远近者:置表间,以前表却行乘之为实。相多为法,除之,得山去表。
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第三题:
今有南望方邑,不知大小。立两表东、西去六丈,齐人目,以索连之。令东表与邑 东南隅及东北隅参相直。当东表之北却行五步,遥望邑西北隅,入索东端二丈二尺六寸半。又却北行去表一十三步二尺,遥望邑西北隅,适与西表相参合。问邑方及邑去表各几何?
答曰:邑方三里四十三步、四分步之三;邑去表四里四十五步。
术曰:以入索乘後去表,以两表相去除之,所得为景长;以前去表减之,不尽以为法。置後去表,以前去表减之,余以乘入索为实。实如法而一,得邑方。求去表远近者:置後去表,以景长减之,余以乘前去表为实。实如法而一,得邑去表。
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第四题:
今有望深谷,偃矩岸上,令勾高六尺。从勺端望谷底,入下股九尺一寸。又设重矩于上,其矩间相去三丈。更从勺端望谷底,入上股八尺五寸。问谷深几何?
答曰:四十一丈九尺。
术曰:置矩间,以上股乘之,为实。上、下股相减,余为法,除之。所得以勾高减之,即得谷深。
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第五题:
今有登山望楼,楼在平地。偃矩山上,令勾高六尺。从勾端斜望楼足,入下股一丈二尺。又设重矩於上,令其间相去三丈。更从勾端斜望楼足,入上股一丈一尺四寸。又立小表於入股之会,复从勾端斜望楼岑端,入小表八寸。问楼高几何?
答曰:八丈。
术曰:上、下股相减,余为法;置矩间,以下股乘之,如勾高而一。所得,以入小表乘之,为实。实如法而,即是楼高。
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第六题:
今有东南望波口,立两表南、北相去九丈,以索薄地连之。当北表之西却行去表六丈,薄地遥望波口南岸,入索北端四丈二寸。以望北岸,入前所望表里一丈二尺。又却行,後去表一十三丈五尺。薄地遥望波口南岸,与南表参合。问波口广几何?
答曰:一里二百步。
术曰:以後去表乘入索,如表相去而一。所得,以前去表减之,余以为法;复以前去表减後去表,余以乘入所望表里为实,实如法而一,得波口广。
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第七题:
今有望清渊下有白石。偃矩岸上,令勾高三尺。斜望水岸,入下股四尺五寸。望白石,入下股二尺四寸。又设重矩於上,其间相去四尺。更从勾端斜望水岸,入上股四尺。以望白石,入上股二尺二寸。问水深几何?
答曰:一丈二尺。
术曰:置望水上、下股相减,余以乘望石上股为上率。又以望石上、下股相减,余以乘望水上股为下率。两率相减,余以乘矩间为实;以二差相乘为法。实如法而一,得水深。
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第八题:
今有登山望津,津在山南。偃矩山上,令勾高一丈二尺。从勾端斜望津南岸,入下股二丈三尺一寸。又望津北岸,入前望股里一丈八寸。更登高岩,北却行二十二步,上登五十一步,偃矩山上。更从勾端斜望津南岸,入上股二丈二尺。问津广几何?
答曰:二里一百二步。
术曰:以勾高乘下股,如上股而一。所得以勾高减之,余为法;置北行,以勾高乘之,如上股而一。所得以减上登,余以乘入股里为实。实如法而一,即得津广。
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第九题:
今有登山临邑,邑在山南。偃矩山上,令勾高三尺五寸。令勾端与邑东南隅及东北隅参相直。从勾端遥望东北隅,入下股一丈二尺。又施横勾於入股之会,从立勾端望西北隅,入横勾五尺。望东南隅,入下股一丈八尺。又设重矩於上,令矩间相去四丈。更从立勾端望东南隅,入上股一丈七尺五寸。问邑广长各几何?
答曰:南北长一里百步;东西广一里三十三步、少半步。
术曰:以勾高乘东南隅入下股,如上股而一,所得减勾高,余为法;以东北隅下股减东南隅下股,余以乘矩间为实。实如法而一,得邑南北长也。求邑广:以入横勾乘矩间为实。实如法而一,即得邑东西广。
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