写这篇 文章 的 原因 是 网友 水星之魅 在 反相吧 发了一个 帖 《知乎问题，Newton 如果穿越到现在，他会怎样？》 https://tieba.baidu.com/p/6699008721 ，
我就去 知乎 上 找 这个 问题 看， 结果 这个 问题 没找到， 找到了 另外一个 问题 《牛顿如果穿越到现在，能看懂相对论和量子力学吗？》 。
这个问题中， 网友 的 回答 中 提到 ：
“
牛顿晚年时面对杰出年轻后辈约翰伯努利深入研究过的最速降线的挑战一夜之间就给出答案这是什么概念！！后来牛顿在与朋友通信提到此事时曾经说过“我最讨厌有人在数学上挑衅我！”
”
看到 这段话， 我不禁 莞尔一笑 。
传说， 牛顿 一个晚上 就 搞定了 最速降线 。
从 欧拉-拉格朗日 方程 的 推导过程 可以看到， 推导 欧拉-拉格朗日 方程 需要 完整成熟 的 微积分计算体系， 根据 欧拉-拉格朗日 方程 推导出 最速降线 需要 解 微分方程 。 见 《最速降线的数学模型—变分法》 。
有没有 牛顿 推导 最速降线 的 手稿 和 推导方法 ？ 可以 拿来 看一看 。
@陈彼方º （陈彼方） @夸kiss♀♀ （青莲剑歌）
欧拉-拉格朗日 方程 描述 的 问题场景 是， 对于 二维平面 上 2 点 间 的 一段 曲线， 以 这段 曲线 作为 积分路径， 作 某个 定积分， 问 曲线 是 什么样 时， 定积分 值 最小 ？ 或者说， 求 定积分 值 最小 时 的 曲线（曲线方程） 。
寻找 三维空间 里的 曲面 上 的 2 点 间 的 最短距离线（短程线） 也是 一个 泛函问题 。
寻找 曲面 上 的 2 点 间 的 最速降线 也是 一个 泛函问题 。
曲面 上 2 点 间 的 短程线 不一定是 最速降线， 反之亦然 。
有没有 可能 曲面 的 短程线 和 最速降线 是 同一条线 ？ 还是 永远不可能 ？ 嗯， 这是个 问题 。
曲面 上 的 最速降线 是 什么？ 似乎 要 解释一下 。 对于一个 曲面， 在 曲面 上 取 2 点， 在 2 点 间 在 曲面 上 画 一条线， 让 小球 沿着 这条线 在重力下滚动， 小球 从 一个点 最快 滚动 到 另一个 点 的 那条线， 就是 曲面 的 最速降线 。
通过 对 最速降线（包括 二维平面 和 三维曲面 的） 和 短程线 的 一些 研究， 可以看到， 泛函问题 涉及 到 某种 “整体规划” 。 如果 没有 “整体规划”， 那么 泛函问题 就 退化 为 普通 的 微积分问题， 比如， 函数极值问题 、一般 的 微分方程 问题 、一般 的 级数问题 。
也可以说， 整体规划 是 泛函问题 的 一个 重要特征 。
因为 整体规划 的 关系， 我有一个 大胆 的 想法， 在 变分法 出现 以前， 纯数学 解决 最速降线 问题 是 不可能 的 。
在《最速降线问题》 中， 介绍了 伯努利 利用 费马原理 和 斯涅耳定理 来 证明 最速降线 的 方法 。
那是 一个 巧妙 的 方法， 也捎带了 人们 主观 的 美好愿望 。
为了 便于 叙述， 我们 把 伯努利 利用 费马原理 和 斯涅耳定理 来 证明 最速降线 的 方法 称为 伯努利推导法 。
伯努利推导法 是这样的， 根据 斯涅耳定理 （折射定律） ：
sin θ1 / v1 = sin θ2 / v2
于是， 对于 每一次 入射（折射）， 可得 ：
sin θ / v = C1 ， C1 为 常量 (1) 式
下一次 的 入射角 等于 上一次 的 折射角， 把 每一次 入射（折射） 看作 微元， 每一个 微元 都 满足 (1) 式 的 曲线 就是 最速降线 。
设 曲线 是 y = p (x) ， 曲线 的 导数 是 y ′ ， 导数 是 曲线 上 一点 的 切线， 也就是 该点 微元 的 折射光 的 方向， (1) 式 中 的 θ 就是 折射角，
ctg θ = y ′
sin θ = 1 / 根号 ( 1 + y ′ ² )
代入 (1) 式， 得 ：
[ 1 / 根号 ( 1 + y ′ ² ) ] / v = C1 (2) 式
根据 机械能守恒， 可知 v = 根号 ( 2 g y ) ， 代入 (2) 式， 得 ：
[ 1 / 根号 ( 1 + y ′ ² ) ] / 根号 ( 2 g y ) = C1
1 / [ 根号 ( 1 + y ′ ² ) * 根号 ( 2 g y ) ] = C1
1 / [ 根号 ( 1 + y ′ ² ) * 根号 ( y ) ] = C1 * 根号 ( 2 g )
根号 ( 1 + y ′ ² ) * 根号 ( y ) = 1 / [ C1 * 根号 ( 2 g ) ]
令 C2 = 1 / [ C1 * 根号 ( 2 g ) ] ， 因为 C1 、g 是 常量， 所以 C2 也是 常量，
根号 ( 1 + y ′ ² ) * 根号 ( y ) = C2 (3) 式
(3) 式 就是 最速降线 的 微分方程， 解出 (3) 式 就可以得到 最速降线 的 曲线方程 。
(3) 式 和 用 变分法 欧拉-拉格朗日 方程 第二种形式 得到 的 微分方程 是 一样 的 ， 见 《最速降线的数学模型—变分法》 。 文章 里 还有 解 这个 微分方程 的 过程 。
伯努利推导法 并没有 证明 推导出 的 “最速降线” （摆线） 是 小球 滚动 时间 最短 的 路径 。
我上面说过 泛函 的 重要特征 是 整体规划， 用 直观 和 逻辑 分析一下 可以知道， 最速降线 的 构造 也 需要 整体规划， 局部 的 最速 不代表 整体 的 最速 。
但是， 伯努利推导法 根据 每个微元 最速 推导出 的 整体 也是 最速， 这也许 是 一个 有趣 的 巧合 。
也就是说， 在 最速降线 问题 上， 任意 一个 局部 的 最优 等价于 整体 的 最优， 这也许 反映了 某种 全息 ？
伯努利推导法 的 依据 是 费马原理 和 斯涅耳定理， 费马原理 认为 光 总是 沿着 所需 时间 最少 的 路径 前进， 但是 费马原理 是 一个 原理， 差不多是一个 公设， 它有一些 实验支持， 更多的是表达了 人们 主观 的 愿望 和 想象 。
理论上， 伯努利推导法 并没有 给出 “最速降线”（摆线） 是 最速降线 的 证明 。
我原来还 怀疑 费马原理 是否 成立， 试了一下， 还真可以 推导出 折射定律（斯涅耳定理） 。
如图， 光线 从 A 点 出发， 沿 AC 以 速度 v1 到达 C 点， 又 从 C 点 以 速度 v2 沿 CB 到达 B 点， C 点 在 x 轴 上， 问 C 点 的 横坐标 是 多少时， 光 沿 AC - CB 的 路径 从 A 到 B 所用 的 时间 最短 ？
设 A 点 坐标 是 ( 0, h1 )， B 点 坐标 是 ( L, h2 ) ， C 点 坐标 是 ( x, 0 ) ，
AC = 根号 ( x ² + h1 ² )
BC = 根号 [ (L - x) ² + h2 ² ]
从 A 到 B 的 时间 t = AC / v1 + BC / v2
t = 根号 ( x ² + h1 ² ) / v1 + 根号 [ (L - x) ² + h2 ² ] / v2 (4) 式
(4) 式 中 x 为 自变量， h1, h2, L, v1, v2 为 常量 。
接下来 就是 求 t 的 最小值 发生在 什么时候， 这是一个 极值问题 。 函数极值 出现在 极值点 和 拐点， 极值点 是 导数 为 0 的 点， 拐点 是 导数 为 无穷， 点 的 两边 的 导数 正负异号 的 点 。
先求 t 的 导数，
t ′ = [ 根号 ( x ² + h1 ² ) / v1 + 根号 [ (L - x) ² + h2 ² ] / v2 ] ′
= 1 / v1 * 1/2 * 1 / 根号 ( x ² + h1 ² ) * 2x + 1 / v2 * 1/2 * 1 / 根号 ( (L - x) ² + h2 ² ) * ( 2x - 2L )
= 1 / v1 * x / 根号 ( x ² + h1 ² ) + 1 / v2 * ( x - L ) / 根号 ( (L - x) ² + h2 ² )
= 1 / v1 * x / 根号 ( x ² + h1 ² ) - 1 / v2 * ( L - x ) / 根号 ( (L - x) ² + h2 ² )
t ′ = 1 / v1 * x / 根号 ( x ² + h1 ² ) - 1 / v2 * ( L - x ) / 根号 ( (L - x) ² + h2 ² ) (5) 式
简单的分析一下， 若 v1, v2 不为 0 ， 则 h1, h2, L, x 无论 取 什么值， (5) 式 都不会 是 无穷 ， 所以 只要 看 t ′ = 0 的 情况 就可以 。
1 / v1 * x / 根号 ( x ² + h1 ² ) - 1 / v2 * ( L - x ) / 根号 ( (L - x) ² + h2 ² ) = 0
1 / v1 * x / 根号 ( x ² + h1 ² ) = 1 / v2 * ( L - x ) / 根号 ( (L - x) ² + h2 ² )
可以看到，
x / 根号 ( x ² + h1 ² ) = sin θ1
( L - x ) / 根号 ( (L - x) ² + h2 ² ) = sin θ2
于是，
1 / v1 * sin θ1 = 1 / v2 * sin θ2
sin θ1 / v1 = sin θ2 / v2 (6) 式
(6) 式 就是 折射定律 （斯涅耳定理） 。
看起来， 费马原理 在 折射 时 是 成立 的， 也可以说， 折射定律 选择 的 路径 是 最速路径 。
伯努利推导法 把 一次 折射 看作 一个 微元， 由上可知， 每个 微元 是 一个 最速路径， 但 由 这些 微元 构成 的 曲线 是不是 最速路径 ？ 不知道 。 这需要 证明 。
未完， 接 2 楼 。
我就去 知乎 上 找 这个 问题 看， 结果 这个 问题 没找到， 找到了 另外一个 问题 《牛顿如果穿越到现在，能看懂相对论和量子力学吗？》 。
这个问题中， 网友 的 回答 中 提到 ：
“
牛顿晚年时面对杰出年轻后辈约翰伯努利深入研究过的最速降线的挑战一夜之间就给出答案这是什么概念！！后来牛顿在与朋友通信提到此事时曾经说过“我最讨厌有人在数学上挑衅我！”
”
看到 这段话， 我不禁 莞尔一笑 。
传说， 牛顿 一个晚上 就 搞定了 最速降线 。
从 欧拉-拉格朗日 方程 的 推导过程 可以看到， 推导 欧拉-拉格朗日 方程 需要 完整成熟 的 微积分计算体系， 根据 欧拉-拉格朗日 方程 推导出 最速降线 需要 解 微分方程 。 见 《最速降线的数学模型—变分法》 。
有没有 牛顿 推导 最速降线 的 手稿 和 推导方法 ？ 可以 拿来 看一看 。
@陈彼方º （陈彼方） @夸kiss♀♀ （青莲剑歌）
欧拉-拉格朗日 方程 描述 的 问题场景 是， 对于 二维平面 上 2 点 间 的 一段 曲线， 以 这段 曲线 作为 积分路径， 作 某个 定积分， 问 曲线 是 什么样 时， 定积分 值 最小 ？ 或者说， 求 定积分 值 最小 时 的 曲线（曲线方程） 。
寻找 三维空间 里的 曲面 上 的 2 点 间 的 最短距离线（短程线） 也是 一个 泛函问题 。
寻找 曲面 上 的 2 点 间 的 最速降线 也是 一个 泛函问题 。
曲面 上 2 点 间 的 短程线 不一定是 最速降线， 反之亦然 。
有没有 可能 曲面 的 短程线 和 最速降线 是 同一条线 ？ 还是 永远不可能 ？ 嗯， 这是个 问题 。
曲面 上 的 最速降线 是 什么？ 似乎 要 解释一下 。 对于一个 曲面， 在 曲面 上 取 2 点， 在 2 点 间 在 曲面 上 画 一条线， 让 小球 沿着 这条线 在重力下滚动， 小球 从 一个点 最快 滚动 到 另一个 点 的 那条线， 就是 曲面 的 最速降线 。
通过 对 最速降线（包括 二维平面 和 三维曲面 的） 和 短程线 的 一些 研究， 可以看到， 泛函问题 涉及 到 某种 “整体规划” 。 如果 没有 “整体规划”， 那么 泛函问题 就 退化 为 普通 的 微积分问题， 比如， 函数极值问题 、一般 的 微分方程 问题 、一般 的 级数问题 。
也可以说， 整体规划 是 泛函问题 的 一个 重要特征 。
因为 整体规划 的 关系， 我有一个 大胆 的 想法， 在 变分法 出现 以前， 纯数学 解决 最速降线 问题 是 不可能 的 。
在《最速降线问题》 中， 介绍了 伯努利 利用 费马原理 和 斯涅耳定理 来 证明 最速降线 的 方法 。
那是 一个 巧妙 的 方法， 也捎带了 人们 主观 的 美好愿望 。
为了 便于 叙述， 我们 把 伯努利 利用 费马原理 和 斯涅耳定理 来 证明 最速降线 的 方法 称为 伯努利推导法 。
伯努利推导法 是这样的， 根据 斯涅耳定理 （折射定律） ：
sin θ1 / v1 = sin θ2 / v2
于是， 对于 每一次 入射（折射）， 可得 ：
sin θ / v = C1 ， C1 为 常量 (1) 式
下一次 的 入射角 等于 上一次 的 折射角， 把 每一次 入射（折射） 看作 微元， 每一个 微元 都 满足 (1) 式 的 曲线 就是 最速降线 。
设 曲线 是 y = p (x) ， 曲线 的 导数 是 y ′ ， 导数 是 曲线 上 一点 的 切线， 也就是 该点 微元 的 折射光 的 方向， (1) 式 中 的 θ 就是 折射角，
ctg θ = y ′
sin θ = 1 / 根号 ( 1 + y ′ ² )
代入 (1) 式， 得 ：
[ 1 / 根号 ( 1 + y ′ ² ) ] / v = C1 (2) 式
根据 机械能守恒， 可知 v = 根号 ( 2 g y ) ， 代入 (2) 式， 得 ：
[ 1 / 根号 ( 1 + y ′ ² ) ] / 根号 ( 2 g y ) = C1
1 / [ 根号 ( 1 + y ′ ² ) * 根号 ( 2 g y ) ] = C1
1 / [ 根号 ( 1 + y ′ ² ) * 根号 ( y ) ] = C1 * 根号 ( 2 g )
根号 ( 1 + y ′ ² ) * 根号 ( y ) = 1 / [ C1 * 根号 ( 2 g ) ]
令 C2 = 1 / [ C1 * 根号 ( 2 g ) ] ， 因为 C1 、g 是 常量， 所以 C2 也是 常量，
根号 ( 1 + y ′ ² ) * 根号 ( y ) = C2 (3) 式
(3) 式 就是 最速降线 的 微分方程， 解出 (3) 式 就可以得到 最速降线 的 曲线方程 。
(3) 式 和 用 变分法 欧拉-拉格朗日 方程 第二种形式 得到 的 微分方程 是 一样 的 ， 见 《最速降线的数学模型—变分法》 。 文章 里 还有 解 这个 微分方程 的 过程 。
伯努利推导法 并没有 证明 推导出 的 “最速降线” （摆线） 是 小球 滚动 时间 最短 的 路径 。
我上面说过 泛函 的 重要特征 是 整体规划， 用 直观 和 逻辑 分析一下 可以知道， 最速降线 的 构造 也 需要 整体规划， 局部 的 最速 不代表 整体 的 最速 。
但是， 伯努利推导法 根据 每个微元 最速 推导出 的 整体 也是 最速， 这也许 是 一个 有趣 的 巧合 。
也就是说， 在 最速降线 问题 上， 任意 一个 局部 的 最优 等价于 整体 的 最优， 这也许 反映了 某种 全息 ？
伯努利推导法 的 依据 是 费马原理 和 斯涅耳定理， 费马原理 认为 光 总是 沿着 所需 时间 最少 的 路径 前进， 但是 费马原理 是 一个 原理， 差不多是一个 公设， 它有一些 实验支持， 更多的是表达了 人们 主观 的 愿望 和 想象 。
理论上， 伯努利推导法 并没有 给出 “最速降线”（摆线） 是 最速降线 的 证明 。
我原来还 怀疑 费马原理 是否 成立， 试了一下， 还真可以 推导出 折射定律（斯涅耳定理） 。
如图， 光线 从 A 点 出发， 沿 AC 以 速度 v1 到达 C 点， 又 从 C 点 以 速度 v2 沿 CB 到达 B 点， C 点 在 x 轴 上， 问 C 点 的 横坐标 是 多少时， 光 沿 AC - CB 的 路径 从 A 到 B 所用 的 时间 最短 ？
设 A 点 坐标 是 ( 0, h1 )， B 点 坐标 是 ( L, h2 ) ， C 点 坐标 是 ( x, 0 ) ，
AC = 根号 ( x ² + h1 ² )
BC = 根号 [ (L - x) ² + h2 ² ]
从 A 到 B 的 时间 t = AC / v1 + BC / v2
t = 根号 ( x ² + h1 ² ) / v1 + 根号 [ (L - x) ² + h2 ² ] / v2 (4) 式
(4) 式 中 x 为 自变量， h1, h2, L, v1, v2 为 常量 。
接下来 就是 求 t 的 最小值 发生在 什么时候， 这是一个 极值问题 。 函数极值 出现在 极值点 和 拐点， 极值点 是 导数 为 0 的 点， 拐点 是 导数 为 无穷， 点 的 两边 的 导数 正负异号 的 点 。
先求 t 的 导数，
t ′ = [ 根号 ( x ² + h1 ² ) / v1 + 根号 [ (L - x) ² + h2 ² ] / v2 ] ′
= 1 / v1 * 1/2 * 1 / 根号 ( x ² + h1 ² ) * 2x + 1 / v2 * 1/2 * 1 / 根号 ( (L - x) ² + h2 ² ) * ( 2x - 2L )
= 1 / v1 * x / 根号 ( x ² + h1 ² ) + 1 / v2 * ( x - L ) / 根号 ( (L - x) ² + h2 ² )
= 1 / v1 * x / 根号 ( x ² + h1 ² ) - 1 / v2 * ( L - x ) / 根号 ( (L - x) ² + h2 ² )
t ′ = 1 / v1 * x / 根号 ( x ² + h1 ² ) - 1 / v2 * ( L - x ) / 根号 ( (L - x) ² + h2 ² ) (5) 式
简单的分析一下， 若 v1, v2 不为 0 ， 则 h1, h2, L, x 无论 取 什么值， (5) 式 都不会 是 无穷 ， 所以 只要 看 t ′ = 0 的 情况 就可以 。
1 / v1 * x / 根号 ( x ² + h1 ² ) - 1 / v2 * ( L - x ) / 根号 ( (L - x) ² + h2 ² ) = 0
1 / v1 * x / 根号 ( x ² + h1 ² ) = 1 / v2 * ( L - x ) / 根号 ( (L - x) ² + h2 ² )
可以看到，
x / 根号 ( x ² + h1 ² ) = sin θ1
( L - x ) / 根号 ( (L - x) ² + h2 ² ) = sin θ2
于是，
1 / v1 * sin θ1 = 1 / v2 * sin θ2
sin θ1 / v1 = sin θ2 / v2 (6) 式
(6) 式 就是 折射定律 （斯涅耳定理） 。
看起来， 费马原理 在 折射 时 是 成立 的， 也可以说， 折射定律 选择 的 路径 是 最速路径 。
伯努利推导法 把 一次 折射 看作 一个 微元， 由上可知， 每个 微元 是 一个 最速路径， 但 由 这些 微元 构成 的 曲线 是不是 最速路径 ？ 不知道 。 这需要 证明 。
未完， 接 2 楼 。
