极坐标系 下的 牛顿第二定律

在 一个 极坐标系 里， 可以这样 来 描述 牛顿第二定律， 如图， 图中 是一个 极坐标系， 质点 从 A 点 运动到 C 点， 极角 的 变化量 就是 ⊿θ ， 极径 的 变化量 ⊿ρ = BC 。 其中 OA = OB， AH 垂直于 OB， AB 间 的 弧 记为 弧AB， AB 间 的 线段 仍然 称为 AB 。

可以这样 来 表达 牛顿第二定律 ：
d²ρ / dt² = Fρ / m (1) 式
ρ d²θ / dt² = Fθ / m (2) 式
m 是 质点 的 质量 ， Fρ 是 极径方向 的 力， Fθ 是 切线方向 的 力 。
我们说一下 (2) 式 的 推导过程 ：
(1) 式 是 质点 在 极径 ρ 方向 的 加速度， 简称 径向加速度， (2) 式 是 切线方向 的 加速度， 简称 切向加速度，
切线方向 就是 与 极径 ρ 正交 的 方向 。
切向运动 总 和 径向运动 正交， 切向位移 总是 和 径向位移 正交， 质点 从 A 运动 到 B， ρ 不变， θ 变， 那么 切线方向 的 路程 s切 = 弧AB， 因为 弧AB 上每个 点 都 和 极径 ρ 正交 。
如果 质点 从 A 运动 到 C， ρ 变， θ 变， 则 弧 AB 只有在 A 点 才和 ρ 正交， 弧 AB 不是 切线方向 的 路程 s切 。
此时， 切线方向 的 路程 s切 需要 通过 积分 求得 ：
s切 = ∫ ρ ( t ) dθ (3) 式
ρ = ρ ( t ) 的 时刻 t 的 ρ ， dθ 是 时刻 t 的 dθ 。
对 (3) 式 两边 微分，
ds切 = ρ ( t ) dθ
两边除以 dt ，
ds切 / dt = ρ ( t ) dθ / dt
ds切 / dt 就是 切向速度 v切， 即
v切 = ρ ( t ) dθ / dt
两边 对 dt 求导，
dv切 / dt = d ( ρ ( t ) dθ / dt ) / dt
dv切 / dt 就是 切向加速度 a切， 即
a切 = d ( ρ ( t ) dθ / dt ) / dt
因为 现在是 在 计算 切向变量， 所以 径向变量 可以看作 常量 （这是 神马 逻辑 ？） ， 所以 ρ ( t ) 可以 提到 微分符号 外面 来， 于是，
a切 = ρ ( t ) * d ( dθ / dt ) / dt
a切 = ρ ( t ) * d²θ / dt²
因为 ρ = ρ ( t ) ， ρ ( t ) 可以 写成 ρ ， 于是，
a切 = ρ * d²θ / dt²
即
a切 = ρ d²θ / dt²
根据 牛顿第二定律 a切 = Fθ / m ， 于是，
Fθ / m = ρ d²θ / dt²
ρ d²θ / dt² = Fθ / m 此即 (2) 式
以上 推导 称为 推导 1 。
其实 还可以用 微元法 或者说 微分 的 方法 来 推导， 称为 推导 2 ：
设 质点 从 A 运动 到 C， 在 时刻 t 时 位于 A 。 虽然 质点 从 A 运动 到 C， ρ 在 变化， 但是 当 ⊿θ -> 0 时， ⊿ρ -> 0， 弧AB -> 0 ， 此时 的 弧AB 可以 认为 和 OA 正交， OA 即 时刻 t 时 的 ρ ，
所以 可以 用 弧AB -> 0 来 表示 时刻 t 时 的 切向路程 s切， 于是， t 时 的 切向速度 v切 = s切 / ⊿t = 弧AB / ⊿t , 弧AB -> 0 , ⊿t -> 0 。
又因为 弧AB -> 0 = OA * ⊿θ = ρ * ⊿θ , ⊿θ -> 0 ，于是，
v切 = ρ * ⊿θ / ⊿t , ⊿θ -> 0 , ⊿t -> 0
写成 微分 的 形式 就是
v切 = ρ * dθ / dt
注意， 推导 1 中 的 “现在是 在 计算 切向变量， 所以 径向变量 可以看作 常量” 这个 原则 在 这里 仍然 适用， 因为 对于 dt， ρ 是 有 dρ 的， 如果 在 计算 切向 速度 加速度 的 时候 再把 dρ 计算进来， 那就 …… 没完没了 了 。
从这里， 可以看出， 数学家 很多时候 也是 依靠 直观 直觉 的 ， 只不过 这些 不会 写在 论文 传记 教科书 里 。
不然的话， 请给出 为什么 此处 计算 v切 a切 不算入 dρ ，或者说 把 ρ 当作 常量 的 证明 。
我估计 对 这个 问题 较真 会 引发 第四次数学危机 …… ~
书归正传， 对 v切 求导 就是 加速度 a切， 即
a切 = ( v切 ) ′ = d ( ρ * dθ / dt ) / dt = ρ * d ( dθ / dt ) / dt = ρ d²θ / dt² ， 当然， 这里把 ρ 从 微分符号 里 提出来， 又用了一次 “现在是 在 计算 切向变量， 所以 径向变量 可以看作 常量” 原则 。
于是，
a切 = ρ d²θ / dt² 此亦 (2) 式
大家可能会说 推导 1 其实 也是 以 推导 2 为 前提 的 ， 这样的话， 推导 1 是 无意义 的 循环论证 …… 随便， 你们 爱怎么想 就 怎么想 吧 ，哈哈 。
为什么 要 研究 极坐标系 下的 牛顿第二定律 ？ 一个 直接的 需求 是 天体力学 里的 一体 二体 问题 。
一体 问题 就是 一个 行星 围绕 一个 恒星 公转， 恒星 不受 行星 的 引力 影响 。 恒星 不受 行星 的 引力 影响 是 一种 理想状况， 所以 一体问题 又称为 理想公转问题 。
二体 问题 和 一体 问题 的 区别 是 两个 天体 均受到 对方 引力 的 影响 。
见 《人造卫星轨道 和 天体轨道 原理》 http://tieba.baidu.com/p/6348165470 。
在 《人造卫星轨道 和 天体轨道 原理》 中 提出了 一体 问题 在 直角坐标系 下 的 微分方程组， 由 x 坐标 和 y 坐标 的 2 个 方程 组成，
因为 两个 方程 之间 互相关联， 所以 方程组 难于求解 。
但是 用 极坐标系 的 话， 以 恒星 为 原点， 行星 受到 的 引力 F 永远 在 极径 方向， 这样 行星 的 运动规律 表达为 牛顿第二定律 只需要 一个 方程 ：
d²ρ / dt² = - F / m ， m 为 行星质量
根据 万有引力公式， F = G M m / ρ² ， M 为 恒星质量 ， 代入 方程，
d²ρ / dt² = - G M / ρ² (4) 式
这就是 极坐标系 下 的 一体问题 的 微分方程， 在 极坐标系 是 牛顿第二定律 用 一个 方程 就可以 表达 出来， 一个 方程 比 方程组 易于 求解 。
因为 行星 可能有 初速度， 初速度 可能 包含 径向 和 切向 分量， 切向速度 会 让 θ 发生变化， 当 θ 改变 时， 行星速度 的 径向分量 和 切向分量 会 随之改变，
在 没有 力 作用 的 情况下， 当 θ 改变 时， 行星速度 的 径向分量 和 切向分量 会 随之改变，
也就是说， 径向速度 的 加速度 除了 由 径向 的 引力 F 引起 外， 还 包含 由 θ 变化 引起 的 成分， θ 变化 的 原因 是 行星 的 速度 包含 切向分量 ， 行星 的 速度 包含 切向分量 的 原因 是 行星 的 初速度 包含 切向分量 ， 因为 如果 初速度 没有 切向分量， 则 行星 只会 在 径向 上 运动， 不会 产生 切向速度 。
所以， 还需要在 (4) 式 中 加入 θ 变化 引起 的 径向加速度 。
设 行星速度 为 v， 径向分量 为 v径， 切向分量 为 v切， θ 变化 引起 的 径向加速度 为 a_ρθ ，
设 θ 变化 引起 的 径向速度 变化 为 ⊿ v_θ引起 ， 微分 为 dv径_θ引起 ， 则 ：
dv径_θ引起 = v切 因 θ 变化 产生的 径向增量 + v径 因 θ 变化 产生的 径向增量
v切 因 θ 变化 产生的 径向增量 = v切 sin dθ
v径 因 θ 变化 产生的 径向增量 = v径 cos dθ - v径
dv径_θ引起 = v切 sin dθ + v径 cos dθ - v径
因为
v切 = ρ dθ / dt
v径 = dρ / dt
所以，
dv径_θ引起 = ρ dθ / dt sin dθ + dρ / dt cos dθ - dρ / dt
两边 除以 dt，
dv径_θ引起 / dt = ( ρ dθ / dt sin dθ + dρ / dt cos dθ - dρ / dt ) / dt，
dv径_θ引起 / dt 就是 θ 变化 引起 的 径向加速度 a_ρθ ，
即 a_ρθ = ( ρ dθ / dt sin dθ + dρ / dt cos dθ - dρ / dt ) / dt 。
行星 在 径向 总的 加速度 aρ 等于 引力 引起 的 径向加速度 a_引 加上 θ 变化 引起 的 径向加速度 a_ρθ 。 即 ：
aρ = d²ρ / dt²
a_引 = - G M / ρ²
a_ρθ = ( ρ dθ / dt sin dθ + dρ / dt cos dθ - dρ / dt ) / dt
aρ = a_引 + a_ρθ
d²ρ / dt² = - G M / ρ² + ( ρ dθ / dt sin dθ + dρ / dt cos dθ - dρ / dt ) / dt (5) 式
(5) 式 就是 在 (4) 式 中 加上了 a_ρθ ， (5) 式 就是 一体问题 在 极坐标系 下 的 微分方程 。
这个 微分方程 怎么解 ？ 不知道 。 好处 是 把 ρ , θ 放到了 一个 方程 里， 避免了 方程组 。
这个 方程 的 解 是 ρ , θ 和 t 的 函数关系， 记为 f ( ρ , θ ) = t ， 以 t 为 自变量 的 函数图像 应该是一个 椭圆 。
即 一体问题 行星 公转 的 轨道 是一个 椭圆， 椭圆形状 和 位置 由 恒星质量 、行星质量 、行星 初始位置 初始速度 决定 。
解微分方程 的 过程中 会 进行 积分， 积分 会 产生 积分常数， 行星 初始位置 初始速度 就 体现 在 积分常数， 积分常数 的 具体数值 由 行星 初始位置 初始速度 决定 。
二体问题 可以通过 约化质量 转化为 一体问题， 所以 也可以用 极坐标系 求解， 但 这样得到的 解 仍然 是 不完备 的， 因为 这样的解 只描述了 一个 质点 相对于 另一个 质点 的 运动状况， 没有 描述 两个质点 在 第三方参照系 中 的 运动状况 。