我决定在 反相吧 开展 一系列 的 趣味课堂， 来 普及 微积分

求 二次函数 y = f(x) = ax² + b 的 导数 。
导数 是 ⊿y / ⊿x ， ⊿x -> 0 的 极限， 对于 二次函数 y = f(x) = ax² + b ，
⊿y / ⊿x = ( f( x + ⊿x ) - f( x ) ) / ⊿x
= ( (a(x + ⊿x)² + b) - (ax² + b) ) / ⊿x
= ( a ( x² + 2x⊿x + ⊿x² ) + b - ax² - b ) / ⊿x
= ( ax² + 2ax⊿x + a⊿x² + b - ax² - b ) / ⊿x
= ( 2ax⊿x + a⊿x² ) / ⊿x
= 2ax + a⊿x
当 ⊿x -> 0 时， a⊿x -> 0， 所以 2ax + a⊿x = 2ax ，
即 ⊿y / ⊿x， ⊿x -> 0 = 2ax 。
所以 二次函数 y = ax² + b 的 导数 是 一次函数 y′ = 2ax 。
⊿y / ⊿x， ⊿x -> 0 = 2ax ， 用 微分 的 形式 表示 就是 dy / dx = 2ax ， 即 y′ = f ′ ( x ) = dy / dx = 2ax 。

明天来更新 第二讲，

求 一次函数 y = kx 的 定积分 。
定积分 是 x 轴 上的 一个 区间 的 函数曲线 和 x 轴 围成 的 图形 的 面积 。
我们可以把 函数 f(x) 在 [x1, x2] 区间 上的 定积分 写作 ∫ f(x) dx , [x1, x2] ， 显然， 教科书 上 的 写法 不是 这样， 教科书 的 写法 是 把 x1, x2 写在 积分符号 ∫ 的 后面 作为 上标 和 下标， 这样 在 电脑 上 打字 不方便， 所以， 就写成 ∫ f(x) dx , [x1, x2] 的 形式 。
一次函数 y = kx 在 [x1, x2] 区间 上 的 定积分 是 一个 三角形 或者 梯形， 这很 显而易见 。 可以通过 三角形 和 梯形 的 面积公式 来 计算 函数曲线 在 [x1, x2] 区间 上 和 x 轴 围成 的 面积 。 但是 我们 现在 用 积分 的 方式 来 计算 函数曲线 在 [x1, x2] 区间 上 和 x 轴 围成 的 面积 。
设 函数曲线 在 [x1, x2] 区间 上 和 x 轴 围成 的 图形 为 S， 其 面积 也用 S 表示 。
将 S 沿 x 轴 切分 为 n 个 柱状 小矩形， 用 这些 小矩形 来 近似 的 表示 S ， 这些 小矩形 的 面积 的 和 为 S近似， S近似 就是 S 的 近似值， n 越大， S近似 和 S 的 近似程度 越高 。
这样的话， 有 S近似 = s1 + s2 + s3 + …… sn 。
设 第 m 个 小矩形 的 面积 是 sm， 则
sm = (x1 + (x2 - x1)/n * m) * (x2 - x1)/n
= x1(x2 - x1)/n + (x2 - x1)方/n方 * m
S近似 = s1 + s2 + s3 + …… sn
= x1(x2 - x1)/n + (x2 - x1)方/n方 * 1 + x1(x2 - x1)/n + (x2 - x1)方/n方 * 2 + …… + x1(x2 - x1)/n + (x2 - x1)方/n方 * n
= x1(x2 - x1)/n * n + (x2 - x1)方 * ( 1/n方 + 2/n方 + …… + n/n方 )
= x1(x2 - x1) + (x2 - x1)方 * ( 1/n方 + 2/n方 + …… + n/n方 )
对于 数列和 1/n方 + 2/n方 + …… + n/n方 ， 当 n -> 无穷 时， 有
1/n方 + 2/n方 + 3/n方 + …… + (n - 2)/n方 + (n - 1)/n方 + n/n方
= ( 1/n方 + n/n方 ) + ( 2/n方 + (n - 1)/n方 ) + ( 3/n方 + (n - 2)/n方 ) + ……
= (n + 1)/n方 + (n + 1)/n方 + (n + 1)/n方 + ……
可以看到， 第 1 项 和 第 n 项 合并 成为 一项 (n + 1)/n方， 第 2 项 和 第 n - 1 项 合并 成为 一项 (n + 1)/n方， 第 3 项 和 第 n - 2 项 合并 成为 一项 (n + 1)/n方，
所以， 一共有 n/2 个 (n + 1)/n方， 所以
= n/2 * (n + 1)/n方
= n/2 * (1/n + 1/n方)
= 1/2 + 1/2n
因为 n -> 无穷， 所以 1/2n -> 0， 所以
= 1/2 。
即 当 n -> 无穷 时， 1/n方 + 2/n方 + …… + n/n方 = 1/2， 所以
S近似 = x1(x2 - x1) + (x2 - x1)方 * ( 1/n方 + 2/n方 + …… + n/n方 )
= x1(x2 - x1) + (x2 - x1)方 * 1/2
= x1x2 - x1方 + 1/2 * ( x2方 - 2x2x1 + x1方 )
= x1x2 - x1方 + 1/2 * x2方 - x2x1 + 1/2 * x1方
= 1/2 * x2方 - 1/2 * x1方
可以看到， 1/2 * x2方 是 x2 、原点 、x 轴 组成的 三角形 的 面积 S三角形2， 1/2 * x1方 是 x1 、原点 、x 轴 组成的 三角形 的 面积 S三角形1，
S三角形2 - S三角形1 就是 x1 ~ x2 之间 的 梯形面积， 就是 一次函数 y = kx 在 [x1, x2] 区间 上的 定积分 。
用 梯形公式 可以 推出 同样 的 结果， 梯形公式 = 1/2 * (上底 + 下底) * 高，
上底 = x1， 下底 = x2， 高 = x2 - x1 ，所以
x1 ~ x2 之间 的 梯形面积 = 1/2 * (x1 + x2) * (x2 - x1)
= 1/2 * (x2方 - x1方)
= 1/2 * x2方 - 1/2 * x1方
所以， 当 n -> 无穷 时， S近似 = 1/2 * x2方 - 1/2 * x1方 ，
因为 当 n -> 无穷 时， S = S近似， 所以， S = 1/2 * x2方 - 1/2 * x1方 ，
即 一次函数 y= kx 在 [x1, x2] 区间 上的 定积分 = S = 1/2 * x2方 - 1/2 * x1方 ，
写作 ∫ f(x) dx , [x1, x2] = 1/2 * x2方 - 1/2 * x1方 。

9 楼 的 推导 把 y = kx 的 系数 k 忘了， 把 k 算进去 的 话， 推导应该是：
sm = k * (x1 + (x2 - x1)/n * m) * (x2 - x1)/n
= k * x1(x2 - x1)/n + k * (x2 - x1)方/n方 * m
S近似 = s1 + s2 + s3 + …… sn
= k * x1(x2 - x1)/n + k * (x2 - x1)方/n方 * 1 + k * x1(x2 - x1)/n + k * (x2 - x1)方/n方 * 2 + …… + k * x1(x2 - x1)/n + k * (x2 - x1)方/n方 * n
= k * ( x1(x2 - x1)/n * n + (x2 - x1)方 * ( 1/n方 + 2/n方 + …… + n/n方 ) )
= k * ( x1(x2 - x1) + (x2 - x1)方 * ( 1/n方 + 2/n方 + …… + n/n方 ) )
当 n -> 无穷 时，
= k * ( x1(x2 - x1) + (x2 - x1)方 * 1/2 )
= k * ( 1/2 * x2方 - 1/2 * x1方 )
= 1/2 * k * x2方 - 1/2 * k * x1方

求 一次函数 y = kx 的 原函数 。
设 函数 f(x) 的 导数 是 f ′ (x) ， 则 f(x) 是 f ′ (x) 的 原函数 。
现在 我们 要求 y = f(x) = kx 的 原函数， 即 导数 是 f(x) 的 函数， 记作 F(x) 。
f(x) 在 [0, x] 区间 上的 定积分 ∫ f(x) dx , [0, x] = f (⊿x * 1) * ⊿x + f (⊿x * 2) * ⊿x + …… + f (⊿x * n) * ⊿x ， n = x / ⊿x ， ⊿x -> 0 ， x 是 任意 的 x 。
f(x) 在 [0, x + ⊿x] 区间 上的 定积分 ∫ f(x) dx , [0, x + ⊿x] = f (⊿x * 1) * ⊿x + f (⊿x * 2) * ⊿x + …… + f (⊿x * n) * ⊿x + f (⊿x * (n + 1)) * ⊿x ， n = x / ⊿x ， ⊿x -> 0 ， x 是 任意 的 x 。
∫ f(x) dx , [0, x + ⊿x] - ∫ f(x) dx , [0, x] = ( f (⊿x * 1) * ⊿x + f (⊿x * 2) * ⊿x + …… + f (⊿x * n) * ⊿x + f (⊿x * (n + 1)) * ⊿x ) - ( f (⊿x * 1) * ⊿x + f (⊿x * 2) * ⊿x + …… + f (⊿x * n) * ⊿x )
= f (⊿x * (n + 1)) * ⊿x
= f (⊿x * n + ⊿x) * ⊿x
= f (x + ⊿x) * ⊿x ， n = x / ⊿x ， ⊿x -> 0 ， x 是 任意 的 x 。
将 f(x) 在 [0, x] 区间 上的 定积分 记为 函数： F(x) = ∫ f(x) dx , [0, x] ， x 是 任意 的 x ， 则
F(x + ⊿x) - F(x) = ∫ f(x) dx , [0, x + ⊿x] - ∫ f(x) dx , [0, x] = f (x + ⊿x) * ⊿x ， n = x / ⊿x ， ⊿x -> 0 ， x 是 任意 的 x 。
即 F(x + ⊿x) - F(x) = f (x + ⊿x) * ⊿x ， n = x / ⊿x ， ⊿x -> 0 ， x 是 任意 的 x 。
( F(x + ⊿x) - F(x) ) / ⊿x = f (x + ⊿x) ， n = x / ⊿x ， ⊿x -> 0 ， x 是 任意 的 x 。
当 ⊿x -> 0 时，
x + ⊿x -> x
f (x + ⊿x) -> f(x)
( F(x + ⊿x) - F(x) ) / ⊿x = f (x + ⊿x) -> f(x)
( F(x + ⊿x) - F(x) ) / ⊿x -> f(x)
即 ( F(x + ⊿x) - F(x) ) / ⊿x = f(x) ， ⊿x -> 0 ，
( F(x + ⊿x) - F(x) ) / ⊿x ， ⊿x -> 0 就是 F(x) 的 导数 F ′ (x) ，
即 F ′ (x) = f(x) ，
所以 f(x) 是 F(x) 的 导数 。
所以 F(x) 是 f(x) 的 原函数 。
原函数 又称为 不定积分， 所以， F(x) 是 f(x) 的 不定积分 。
这就是 微积分基本定理 。
还可以这样来表述， f(x) 的 不定积分 = f(x) 在 [0, x] 区间 上的 定积分 ， x 是 任意 的 x 。
表达 为 公式 ： ∫ f(x) dx = ∫ f(x) dx , [0, x] 。
也可以这样表述， f(x) 的 原函数 F(x) = f(x) 的 不定积分 ，
表达 为 公式 ： F(x) = ∫ f(x) dx = ∫ f(x) dx , [0, x] 。
教科书 对 微积分基本定理 的 表述 是 ： 牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增量。
根据 微积分基本定理 ， 我们来求 一次函数 y = f(x) = kx 的 原函数 F(x)，
F(x) = ∫ f(x) dx , [0, x]
我们在 9 楼 10 楼 中 推出了 一次函数 的 定积分 公式： ∫ f(x) dx , [x1, x2] = 1/2 * k * x2方 - 1/2 * k * x1方 ， 所以，
∫ f(x) dx , [0, x] = 1/2 * k * x方 - 1/2 * k * 0方
= 1/2 * k * x方 - 0
= 1/2 * k * x方
即 F(x) = 1/2 * k * x方 。
令 Fc (x) = F(x) + C， C 是 任意常数 ，
可以发现， Fc (x) 的 导数 也是 f(x) ， 实际上 f(x) 有 无数个 原函数 。
所以， 原函数-不定积分 公式 F(x) = ∫ f(x) dx , [0, x] 可以 推广 为 ：
F(x) = ∫ f(x) dx , [0, x] + C ， C 为 任意常数 。

数学公式的推到非常重要数学公式的使用同样重要。洛仑兹变换是不同参照系间的数据关系，相对论效应是从洛仑兹变换中得到的（这里不说得到的方法对不对），当然也是不同参照系间的数据关系。使用在测量一个高速运动的粒子上，就是在胡乱使用数学公式。比如使用在μ与π等介子的速度测量上。测量它们的运动速度，只能使用测量者手中拿着的尺与钟，根本就不需要使用坐标变换。