人造卫星轨道 和 天体轨道 原理

根据 匀速圆周运动 向心力 公式， 可以计算出 第一宇宙速度， 同样的道理， 可以计算出 卫星 在 轨道半径 r 处 的 公转 速度 v 。
卫星 绕 地球 公转 可 看作 是 匀速圆周运动， 所以， 设 地球 质量 为 M， 卫星 质量 为 m， 轨道半径 为 r， 将 地球 和 卫星 看作 质点， r 是 地心 到 卫星 的 距离 。
地球 对 卫星 的 引力 F引 = G M m / r²
卫星 公转 匀速圆周运动 的 向心力 F向 = m v² / r
因为 F引 = F向 ，
所以 G M m / r² = m v² / r ，
v = ( G M / r ) 开方 ， 这就是 卫星 的 轨道公式， 呵呵呵 。 设 轨道半径 为 r， 则 卫星 的 公转速度（线速度） v = ( G M / r ) 开方 。
就是说， 要 让 卫星 在 轨道半径 为 r 的 轨道 上 绕 地球 公转， 卫星 的 线速度 v = ( G M / r ) 开方 。
所以， 要把 卫星 送入 半径 为 r 的 轨道， 一个 主要 步骤 是 让 卫星 在 r 处 的 速度 v = ( G M / r ) 开方， 且 速度方向 是 轨道 的 切线方向（垂直于 卫星 和 地心 的 连线 的 方向） 。
这个 步骤 由 末级火箭 来 完成 。 对 末级火箭 的 控制 应该算 精密控制 技术 吧， 哈哈 。
对于 自然界 中的 天体 来说， 比如 太阳 和 地球， 以及 9 大行星， 彗星， 就以 地球 和 太阳 为例， 如果 地球 要以 匀速圆周运动 围绕 太阳 公转， 即 地球 公转 轨道 是 圆形， 则 需要 地球 在 距离 太阳 r 时， 速度 刚好 是 v = ( G M / r ) 开方 ， 且 速度方向 是 轨道 的 切线方向（垂直于 地球中心 和 太阳中心 的 连线 的 方向） ， 显然， 在 自然界 中， 这样的 概率 很小 。
所以， 天体 的 轨道 很少 是 正圆， 普遍 是 椭圆 。 但 这个 “椭圆” 可以说 不是 严格 的 椭圆， 而是一个 近似 椭圆 的 环线 。
环线 就是指 不是 封闭 的， 即 行星 下次 公转 的 轨道 和 本次 公转 的 轨道 不是 完全重合 的， 会 有 一点 偏离， 偏离 后 仍然 是 一个 近似 椭圆 的 环线 。
这种 现象 其实 就是 “进动” 。
天体 的 进动 有 著名 的 “水星进动” 和 地球 的 “岁差” ， 等等 。
现在 对 岁差 的 解释 是 地球 自传轴 倾斜方向 的 进动， 注意 是 倾斜方向， 不是 倾斜角度 。
但 岁差 也可以用 地球 公转轨道 的 进动 来 解释 ， 因为 地球 公转轨道 的 进动 也可以 产生 岁差 的 效果 。
岁差 的 效果 就是 明年 的 今天 面向太阳 的 角度 比 今年 的 今天 面向太阳 的 角度 有一点 偏移 。
上面这些 也可以 概括 为 ： 公转轨道 没有 椭圆轨道 ， 椭圆形 的 公转轨道 是 不存在 的 ， 理论上， 公转轨道 可以是 正圆， 或 存在 进动 的 近似 椭圆 环线 。
我们可以在 逻辑 上 来 证明 这一点， 这 算不算 一个 定理 ？
我们 把 恒星 和 行星 看作 2 个 质点， 为了便于讨论， 将 恒星 命名 为 质点 A， 行星 命名 为 质点 B， 其实 行星 和 卫星 的 关系 也是 一样 。
设 A 的 质量 远大于 B 的 质量， B 对 A 的 引力 对 A 的 影响 很微小， 可以 忽略， 即 A 是 “固定” 的， 或者说 A 是 惯性系 。
设 A 的 质量 为 M， B 的 速度 为 v， AB 长度 为 r， 由 上面 的 讨论 可知， 只有 v = ( G M / r ) 开方， 且 速度方向 是 轨道 的 切线方向（垂直于 卫星 和 地心 的 连线 的 方向） 时， B 才会 以 r 为 半径 围绕 A 进行 匀速圆周运动， 否则， B 将会以 r 变大 或 变小 的 两种 可能 继续 飞行 。
设 A 、B 不会相撞 且 B 不会 从 A 逃逸（当 r -> 无穷 时， v < 0 。 v > 0 表示 远离 A 的 方向， v < 0 表示 靠近 A 的 方向 。 当然， 这里 的 v 是 以 A 为 极点 的 极坐标系 里 的 v， 上文 中 的 v 是 以 A 为 原点 的 直角坐标系 的 v） ， 则 B 的 飞行 轨迹 总在 尝试 寻找 满足 v = ( G M / r ) 开方， 且 速度方向 是 轨道 的 切线方向（垂直于 卫星 和 地心 的 连线 的 方向） 的 状态， 我们将这个 状态 称为 “匀速圆周状态” 。 若 B 找到 匀速圆周状态， 则 B 会 围绕 A 匀速圆周运动 ， 若 找不到 这个 状态， 则 会 不停 的 改变 相对于 A 的 切向 和 法向 速度 以及 AB 的 距离 r 继续 寻找 匀速圆周状态 。
接下来 讨论 寻找 匀速圆周运动 的 运动轨迹 。 假设 v r 满足 匀速圆周状态， 则 B 围绕 A 匀速圆周运动， 运动轨迹 是 一个 以 A 为 圆心 的 正圆，
设 在 (x, y) 处 满足 匀速圆周状态 的 v 为 v圆 ， 则， 对于 (x, y) 处 的 B， 若 v = v圆， 则 作 以 A 为 圆心 的 匀速圆周运动， 运动轨迹 是 以 A 为 圆心 的 正圆，
若 v != v圆， 即 v 与 v圆 有 偏差， 则 运动轨迹 与 v圆 时 的 运动轨迹 有 偏差， 即 与 正圆 有 偏差， 这个 偏差 反映 为 正圆 的 圆周 曲线 被 拉伸 或 压缩 ， 正圆 的 圆周曲线 被 拉伸 或 压缩 即为 椭圆曲线 。
好吧， 说到这里， 我也不能从 逻辑 上 证明 公转轨道 没有 椭圆轨道 。 哈哈哈 。
没办法， 还是 只好 用 模拟 的 办法， 我之前 写过 一个 二体模拟程序 和 一个 n 体模拟程序， 见 《我写了一个 二体 模拟程序， 大伙来看看吧》 ， 《我写了一个 n-体 模拟程序， 大伙来看看吧》 。
我把 二体模拟程序 修改了一下， 改成了 一体模拟程序， 一体 和 二体 的 区别 是 一体 的 两个质点 中 的 一个质点 是 “固定” 的 。
一体问题 又称为 理想公转问题 。
一体模拟程序 的 项目地址 是 ： 搜索 “博客园 凯特琳 人造卫星轨道 和 天体轨道 原理” ， 可以看到 本文 原文， 在 原文 里 有 项目地址 。 进入 项目页面 后， 点击 右边 的 绿色按钮 “Clone or download” 就可以下载 项目代码 了， 项目 只有一个 One-Body.html 文件， 用 浏览器 打开 就可以 运行 。
可以 设置 不同 的 参数 来 演示， 可以看到， 椭圆轨道 还真的 存在， 而且 是 普遍存在 。 可以说， 除了 碰撞 和 逃逸， 一体问题 存在 周期性 的 通解， 通解 是 椭圆轨道， 正圆 算是 椭圆 的 特例 。 具体的， 可以说， 除了 碰撞 和 逃逸， 一体 里 的 质点 B 以 任意 的 初始位置 和 初始速度 开始运动， 运动轨迹 总是 一个 椭圆， 匀速圆周运动 的 正圆轨道 算是 椭圆 的 特例 。
如果 质点 A 不是 “固定” 的， 就变成了 二体问题， 二体 中， 若以 A 为 参照系， B 的 轨迹 仍然 是 椭圆， 但 相对于 第三方 参照系， B 的 轨迹 不是 椭圆， 而是 存在 进动 的 类椭圆 环线 。
所以， 对于 天体 的 公转， 以 水星进动 为例， 如果 不考虑 其它 天体 对 太阳 和 水星 的 引力作用， 或者说， 在 一个 理想场景 中， 只有 太阳 和 水星 2 个 物体， 则 如果 以 太阳 为 参照系， 水星 的 公转轨道 没有 进动， 但 相对于 第三方 参照系， 水星 的 公转轨道 存在 进动 。
如果 从 数学 上 来 证明， 以 质点 A 为 坐标系 原点， 可以给出一个 方程组 ：
d²x / dt² = - G M m / (x² + y²) / m * x / (x² + y²)开方
d²y / dt² = - G M m / (x² + y²) / m * y / (x² + y²)开方
化简 得：
d²x / dt² = - G M / (x² + y²) 3/2次方 * x
d²y / dt² = - G M / (x² + y²) 3/2次方 * y
这就是 一体问题 的 微分方程组， 解这个 微分方程组 估计 有 难度 。
当然， 也可以对 这个 微分方程组 定性分析 。
未完， 接 2 楼 。