在下近日在研究一些数论相关的问题。其中肯定绕不过一些难题。
比如费马大定理：
X^n+Y^n=Z^n
对于整数X,Y,Z还有n，在n>2的时候无解（没有可以使得等式成立的X，Y，Z，n）

这些数论难题的难度，对于数学爱好者或者相关工作者而言，是不用多说的。
所以，基本上没有人会建议一个普通高中生或者本科生研究这类题目：因为可能要用一辈子也无法解答，毕竟让一个人一辈子就这么“必然失败”，确实很不负责任。
所以我这里提出的问题，显然也不是要任何人来解答这个问题本身。

X^3+Y^3=Z^3 无整数解，这个应该不难，似乎也能在网上找到初等证明。
X^4+Y^4=Z^4的证明我没有找到。
而这么一个个的证明也是无穷无尽的。所以这种“纯体力活”是条死路。
那么，能不能转换一下，换一个题目来考虑：
说X^3+Y^3=Z^3无整数解，那么
X^3+Y^3+Z^3=W^3 （左边3个整数的平方的和）
有没有整数解？
这可能根本就是一个常识，或者早就有人解答了。但是，在网络上输入数学公式还是比较困难，很多公式都是在图片里面，而这类图片的识别率是比较低的（不知道百度或者Google什么时候会在这方面加强一下）。
如果是这样的话，希望有吧友帮我确认一下，到底这种三元的情况有没有正整数解（因为是数论问题，所以这里的整数只考虑正整数）。

然后，再扩展一下（如果上述四元方程有正整数解的话）：
X^4+Y^4+Z^4+W^4=A^4
这种5元，4次的方程有无整数解？
说明：用“正整数”而不是“自然数”是为了避免“0是不是自然数”的问题。因为这个问题总是含糊不清，原因可能是数论中对0的处理和其它分支中对0的处理不同造成的。实际上，就从一个普通的认知角度（不需要数学专业的东西）来看，0到底是不是自然数，也是有问题的：0意味着不存在么？如果是的话，那么不存在又是如何存在的呢？否则怎么能出现关于它的描述呢？

再进一步说，
对于n次，n+1元的此类（各元皆是正整数）方程，是不是都有解？
而对于n次，少于n+1元的此类方程，是不是都无解？
如果这个问题可以确认，那么，后面的问题就好办了。

X=Y
X+Y=Z
2元1次，3元1次都是有解的，自不用说。
X^2+Y^2=Z^2
3元2次，也就是求使得勾股定理成立的正整数是有解的（大家最熟悉的一组是3,4,5）。
X^3+Y^3+Z^3=W^3
有没有解，我暂时不知道，但是可以跑个程序试一下。
稍候。

寻找1000以内的，符合4元3次方程的正整数程序片段（C#）：
注意：此程序片段为尽量表达计算目的，未进行任何优化
const long M = 1000;
for (long x = 1; x <= M; x++)
{
for(long y = 1; y <= M; y++)
{
for(long z = 1; z <= M; z++)
{
for(long w = 1; w <= M; w++)
{
if(x*x*x+y*y*y+z*z*z == w * w * w)
{
Console.WriteLine("{0},{1},{2},{3}",x,y,z,w);
}
}
}
}
}

程序算出来的东西，应该没什么问题。
我只验证了第一个，正确，后面的应当同样正确，因为在10^9不会造成长整数（64位有符号）溢出的前提下，用的是同样的算法。

5元4次，当然也可以这样验证。
那么，我为什么会提这个问题呢？
原因在于，如果这个问题能得到肯定得答案，意思是，真真的证明，而不是用数据去堆砌的验证；
那么，我相信，或者说，有很大的把握确信，从这个基础出发，到费马大定理之间有一条捷径。
那么你可能会问的是，既然怀尔斯已经用高深的方法证明了这个定理，那么为什么还有必要再去证明它？
答案很简单：因为我（假定我）看不懂。实际上他的证明我也没有看到。不过根据已有的信息可以知道他大约是
用了椭圆曲线的相关定理获得了最终结果。
然而，这都是同一个问题：问题在于，用一个更复杂的东西证明一个更基本的东西，即便可行，但你终究不能
像用基本的东西证明复杂的东西那样，明白这件事的究竟。因为反过来，用更复杂的东西证明更基本的东西，
你至多只能确认其存在的合理性，而要获得更多东西，更本质的东西，这个方向本来就是反的。
虽然地球是圆的，你总能一直向着北走而走向南方（过了北极点都是南方），继续走就到达南极；虽然宇宙空间的曲率总是保证你最终会环绕到起点，但是，这要多长时间呢？实际上是太久了，最终由很大的概率会成为一个
不可能完成的任务。
所以说，要研究基本问题，应当首选简单易懂的方法。即便用复杂难懂的方法得到结果，实际上还有很长的路要走。
而如果你开始的时候就选择简单易懂的方法，那么，很可能最开始的时候极其困难，但只要一点突破，其它各点
都会自动突破，那么后面的路就好走了。
虽然也很可能赌上一辈子，但从结果上来说，同样的一辈子，这样做若是成功，则更为值得。

当然这些话不是建议任何人去赌一辈子，而是对于那些对此有所准备的，或者说，已经没有了一辈子的人而言，要赌的话，也赌个大的：什么是大的？费马定理也好，黎曼猜想也好，是大的吗？不是。
它们存在的重要性在于它们所表达的意思，而那个意思才是规律本身。一切研究的本质，都是在寻找规律，寻找本质的规律。这个规律才是大的。若有一天，比如，你证明了黎曼猜想，却说不出黎曼猜想到底要表达什么意思，那么可以说，很遗憾，你并未得到任何真正的东西。
而反过来，若你得到了那个规律，证明黎曼猜想则是必然的。你会清楚的知道你在干什么，你能干什么，你不能干什么，你也能告诉别人，什么是什么，什么事应该怎么办。
而这一点，正是我们的教科书所缺少的东西。
就像我当年学线性代数，一大堆的计算方法（比如上下三角形一类的），一大堆的名词，最后我却不知道那些东西都是干什么用的，从哪来的，是什么意思。那么实际上我就成了做题的机器。显然Mathmatica或者MATLAB做这件事要比我强多了，那么要我何用？

还是回来讨论数学问题。
要研究物理学（这是我的目的），就逃不开要研究数学。
甚至可以这么说：物理学只是具有更多常数的数学。
（但是老实说，今天的数学，我也看不懂，完全看不懂，尤其是在它彻底脱离物理学，而物理学开始围绕
数学转之后）。
因为一些基本的问题，是物理学问题，更是数学问题。
比如说，若要问，狭义相对论要求物体之间运动的相对速度不能超过光速。
而这个问题最终就会归结为一个直角三角形的三条边的关系。这就是一个数学问题。
而关于直角三角形，我们最熟悉的就是勾股定理。
a^2+b^2=c^2
你不觉得很奇怪吗？它为什么意味着一个三角形？或者说，三角形到底是什么东西？
因为狭义相对论中的三角形，三条边混合了速度和时间在一起，却仍然符合
(sinA)^2+(cosA)^2=1
的关系，而‘这个关系就是’
a^2+b^2=c^2
直觉上来说，不相同的东西是没法再一起运算的，而速度和时间被放在一起构成了一个直角三角形的方程，
这意味着，速度或者说长度和时间有着更内在的联系。
而如果不知道三角形是什么东西，那么这种联系将无法得知。
遇到了这个问题，实际上就已经开始和费马定理沾边了。
这些显然都不是巧合，而是内在必然联系的体现。

回忆起来，学生时代是我最幸福也是最痛苦的时代。
幸福在于，每个周末的一天或者两天，我可以把自己埋在书店里面学习我想要学的东西（也许图书馆更好吧，但我只去过一次，我所知道的是，图书馆基本上没有新书）。痛苦在于，在这套教育体制之下，必须把大量的时间都放在成绩上，这按说也不是问题，更大的问题在于，我发现我越来越学不明白。
按说应该是越学越明白才对？为什么会出现越来越不明白？再后来，我发现，实际上同学之中没人明白。只有更不明白的，没有更明白的。而分数基本上代表你接近机器的程度。而作为一个小程序员（现在是老程序员）而言，这不是对人的能力的赞扬，这是对人的能力的侮辱。
再后来，我发现不仅仅同学不明，实质上老师也不明白。我曾经问物理老师关于E=mc^2是怎么来的。专门在网上下载了一个初等解释，自己翻译，交给老师。老师给了我一个好评！然后，就没有然后了。
其实今天看来不是老师不明白，而是那时候高中生没有微积分基础，她认为给我讲了我也不会明白（我其实已经自学了微积分，但那个证明是初等证明）。或者是她认为那个证明不对。而这就意味着，相对论质能方程，至少在她看来，是没有初等证明的。
真的就没有初等证明吗？没有初等的，高等的怎么建立起来的？
有趣的是，高等的就是这么建立起来的：高等数学引入极限，导数，微分积分等等，如果你认真研究，你会发现，
它就是“跳起来的”。高等数学和初等数学，中间是有“代沟”的。
这个代沟使得很多东西，不只是学生不懂，老师也不懂。这些话可能说起来不那么清楚，因为你可能没法看到
我现在看到的这些情况。换句话说，大多数人不知道缺少了什么，也正因为不知道缺少了什么，也基本上不会
去找它，这种缺失，可能持续很长时间都没人看得见。

黎曼能够想到绕着数轴做积分，如果是你的话，你会不会这么做？
谁都知道，数轴意味着指向无穷远，你怎么从无穷远绕回来？
而他这么做却产生了正确的结果。这意味着什么？
不具体的去说是什么，至少可以说，他知道你所不知道的东西。
而这个不知道的东西，很可能就是最根本的，或者说，被跳过的东西。
历史的发展，真的没法跳过。跳过了，恐怕真的得补回来。
不然会会怎么样？不然会发生的就是，始终有一个东西放在那，阻碍你前进，你又看不到它，
结果是你走不了，又不知道为什么。