感觉不对

你可以令f’(x)=cos(kx)+1，k是足够大的正整数。
利用这个函数的周期性即可得到f(x)严格递增，但f'(x)=0的解有限但是无上限。

可以吧

可以用康托集构造反例

不是.

康托函数(Cantor function)就是反例了

我错了，Cantor函数不是严格递增的，不过用这里的技巧就能将其变为严格递增且导数几乎处处为0
http://math.stackexchange.com/questions/250628/

感觉如果不等于0的点是无处稠密的话，同样也能有函数满足lz的条件。因为无处稠密的集合可以非零测集。[0,1]除去所有(a/2^n-1/2^(2n+1),a/2^n+1/2^(2n+1))当n趋于无穷大就是无处稠密的。再构造个类似Cantor的函数应该就行了。

突然不知道lz需要什么了，lz是需要{f'(x)=0}的集合无处稠密还是{f'(x)≠0}的集合无处稠密？
如果是{f'(x)=0}的集合的话，我已经构造出来了“几乎处处”导函数等于0，也就是说
{f'(x)≠0}的集合零测，{f'(x)=0}的集合不但是不可数个，而且测度大于0。

回复 SyllasNic :康托尔集的元素是不可数的