@Lifschitz
希望本篇的读者了解测度论（实分析/概率论）的一些基本知识：常见的sigma代数（Borel代数），测度拓张定理，Borel测度，Lebesgue积分，作为Banach空间的L^p空间等等。
历史上，函数空间上的积分跟物理中的路径积分差不多是同一时期发展起来的，而前者又受了后者很多影响。数学家的路径积分大体上来源于下面几个人的工作：Weiner（定义了函数空间上的Weiner测度），Kac（Feymann-Kac公式，相当于量子力学里面用路径积分解Schrodinger方程），Ito（伊藤清，随机微分方程），Gross（抽象Weiner空间），郭辉熊（伊藤清的学生，Hilbert空间上的势论和PDE）。他们的许多发现同物理中的路径积分有相当大的平行性。
作为科普，首先来回顾一下量子力学里面用路径积分解Schrodinger方程的做法：
但是这个定义中有一点微妙的问题如果我们认为函数空间（路径空间）跟普通的有限维实数空间没有区别的话，自然就会把上面的积分测度Dx当成某种“无穷维的Lebesgue测度”——换句话说，具有平移和旋转不变性的Borel测度的拓张。然而仔细想想就会发现这种Borel测度在无穷维空间中根本不可能存在。理由很简单：如果有这样的一个测度，那么我们就必须要求每一个球都具有正的测度。这样根据平移不变性，势必导出每个球的测度都是无穷大的结论。这显然是不能接受的。另一方面，出现在指数上的虚数单位可能会导致收敛性的问题。
为了暂时避开第二个问题，可以使用一下Wick rotation，变成所谓的Eclidean路径积分。但是第一个问题还是没有解决。
如何才能在函数空间上定义一个良好的测度？Weiner给出了一个比较令人满意的解答。这就是Weiner测度。
考虑函数空间C[0,1]，加上一个一致收敛模。在这个模之下它自然是可分的Banach空间。仿照路径积分的做法，可以在区间[0,1]上取一系列的“窗口”来“测量”函数的值。记B_n为n维Euclidean空间的Borel代数。下面在区间[0,1]上面取n个“观察点”，观察某个函数族E的函数值。如果这些函数值在n维Euclidean空间中构成一个Borel集，那么就称E是C[0,1]中的一个Cylinder. 很容易看出Cylinder的全体是一个代数，而又容易证明这个代数生成的sigma代数就是C[0,1]的Borel代数。
下面可以仿照路径积分的做法在Cylinder代数上定义一个测度W。假若取了“窗口”t1,..., tn, 观察的函数族为E，它们在经过“观察”之后形成n维空间里面的一个Borel集I，则定义E的Weiner测度W(E)如下：
不难证明这个测度在Cylunder的代数上具有可数可加性。这样就可以把它拓张成为C[0,1]上的Borel测度。这个拓张就是C[0,1]上的Weiner测度。显然它是个概率测度。对这个测度的Lebesgue积分就称作Weiner积分。将区间的右端点换成一个可变的t之后，所有的讨论都可以照搬到C[0,t]. 下面都以C[0,t]作为所考虑的函数空间。
这个定义跟路径积分的联系是什么？如果在上面的式子中形式地令n无限增大，而观察的“窗口”取得无限密集，则积分号下指数部分的求和正好就是自由粒子的Euclidean作用量。所以直观上，Weiner积分是将自由粒子作用量“吸收”进积分测度的一种积分。
Kac受到Feymann启发证明了下面的Feymann- Kac公式：
这跟虚时Schrodinger方程在形式上完全一样。但是这里的定义完全是严格的（不是物理学家“泛函积分可以严格积出来”的严格，而是真正的严格）。这个公式还有高维推广。微扰论也可以在这里很好地展开（我原来试过一个最简单的情形，见http://tieba.baidu.com/p/2923817158；当然只是很平凡的讨论）。
当然，这些讨论中跳过了Wick rotation的问题。Wick rotation的定义基于方程的解对于时间t的解析性。如果这个不能保证，那么Wick rotation的数学基础依旧是一个问题。
Gross还定义过所谓抽象Weiner空间，并且考虑了上面的势论。这也许可以为量子场论的泛函积分提供一个严格的数学表述。
希望本篇的读者了解测度论（实分析/概率论）的一些基本知识：常见的sigma代数（Borel代数），测度拓张定理，Borel测度，Lebesgue积分，作为Banach空间的L^p空间等等。
历史上，函数空间上的积分跟物理中的路径积分差不多是同一时期发展起来的，而前者又受了后者很多影响。数学家的路径积分大体上来源于下面几个人的工作：Weiner（定义了函数空间上的Weiner测度），Kac（Feymann-Kac公式，相当于量子力学里面用路径积分解Schrodinger方程），Ito（伊藤清，随机微分方程），Gross（抽象Weiner空间），郭辉熊（伊藤清的学生，Hilbert空间上的势论和PDE）。他们的许多发现同物理中的路径积分有相当大的平行性。
作为科普，首先来回顾一下量子力学里面用路径积分解Schrodinger方程的做法：
但是这个定义中有一点微妙的问题如果我们认为函数空间（路径空间）跟普通的有限维实数空间没有区别的话，自然就会把上面的积分测度Dx当成某种“无穷维的Lebesgue测度”——换句话说，具有平移和旋转不变性的Borel测度的拓张。然而仔细想想就会发现这种Borel测度在无穷维空间中根本不可能存在。理由很简单：如果有这样的一个测度，那么我们就必须要求每一个球都具有正的测度。这样根据平移不变性，势必导出每个球的测度都是无穷大的结论。这显然是不能接受的。另一方面，出现在指数上的虚数单位可能会导致收敛性的问题。
为了暂时避开第二个问题，可以使用一下Wick rotation，变成所谓的Eclidean路径积分。但是第一个问题还是没有解决。
如何才能在函数空间上定义一个良好的测度？Weiner给出了一个比较令人满意的解答。这就是Weiner测度。
考虑函数空间C[0,1]，加上一个一致收敛模。在这个模之下它自然是可分的Banach空间。仿照路径积分的做法，可以在区间[0,1]上取一系列的“窗口”来“测量”函数的值。记B_n为n维Euclidean空间的Borel代数。下面在区间[0,1]上面取n个“观察点”，观察某个函数族E的函数值。如果这些函数值在n维Euclidean空间中构成一个Borel集，那么就称E是C[0,1]中的一个Cylinder. 很容易看出Cylinder的全体是一个代数，而又容易证明这个代数生成的sigma代数就是C[0,1]的Borel代数。
下面可以仿照路径积分的做法在Cylinder代数上定义一个测度W。假若取了“窗口”t1,..., tn, 观察的函数族为E，它们在经过“观察”之后形成n维空间里面的一个Borel集I，则定义E的Weiner测度W(E)如下：
不难证明这个测度在Cylunder的代数上具有可数可加性。这样就可以把它拓张成为C[0,1]上的Borel测度。这个拓张就是C[0,1]上的Weiner测度。显然它是个概率测度。对这个测度的Lebesgue积分就称作Weiner积分。将区间的右端点换成一个可变的t之后，所有的讨论都可以照搬到C[0,t]. 下面都以C[0,t]作为所考虑的函数空间。
这个定义跟路径积分的联系是什么？如果在上面的式子中形式地令n无限增大，而观察的“窗口”取得无限密集，则积分号下指数部分的求和正好就是自由粒子的Euclidean作用量。所以直观上，Weiner积分是将自由粒子作用量“吸收”进积分测度的一种积分。
Kac受到Feymann启发证明了下面的Feymann- Kac公式：
这跟虚时Schrodinger方程在形式上完全一样。但是这里的定义完全是严格的（不是物理学家“泛函积分可以严格积出来”的严格，而是真正的严格）。这个公式还有高维推广。微扰论也可以在这里很好地展开（我原来试过一个最简单的情形，见http://tieba.baidu.com/p/2923817158；当然只是很平凡的讨论）。
当然，这些讨论中跳过了Wick rotation的问题。Wick rotation的定义基于方程的解对于时间t的解析性。如果这个不能保证，那么Wick rotation的数学基础依旧是一个问题。
Gross还定义过所谓抽象Weiner空间，并且考虑了上面的势论。这也许可以为量子场论的泛函积分提供一个严格的数学表述。
