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对问题进行拆解，并回答
1、“为了描述方便，以椭圆为例”
我想楼主的意思应该是：
为了描述方便，以二阶二次型为例，并以正定二次型为例
实际上，二次型是一种多元函数，描述的是映射关系。给定任意一组(x1,x2,…,xn)的值，就可以计算出对应的f(x1,x2,…,xn)的值
进而如果令f(x1,x2,…,xn)=C，这就成为了一个方程，描述的是一种约束关系，只有部分点(x1,x2,…,xn)能满足要求，二维情况下所有满足要求点构成了曲线，三维情况下所有满足要求点构成了曲面
对于二维情况，如果C>0，在二次型正定（两个特征值都大于0）的条件下表示的是椭圆，在半正定（两个特征值一个大于0一个等于0）条件下表示的是抛物线，在非负定（两个特征值一个大于0一个小于0）条件下表示的是双曲线
2、“二次型转化为标准型可以有无数多种可逆变换。对于可逆变换，其最终都会变为平方项的和的形式。而这一形式，是椭圆方程的标准型。”
实际上，二次型的变换有三种：
第一种叫对角型，对应的是方程只有平方项，系数在符合惯性指标的正负条件下，数值是任意的；
第二种叫标准型，不只是方程只有平方项，而且平方项的系数必须是1或-1或0，在正定二次型中平方项的系数都是1。此时椭圆就变成圆了；
前两种变换都可以通过多种变换方式实现（对应可逆变换矩阵有多种），对应的平面曲线或空间曲面可以发生变形（旋转、伸缩），而第三种叫规范型，对应的也是方程只有平方项，但要求平面曲线或空间曲面不发生变形，只有旋转，没有伸缩，它必须通过二次型的特征向量组成的正交矩阵进行变换才能实现，而且平方项的系数是确定的，就是二次型的特征值。
3、“所选取的可逆线性变换，并非都是原椭圆的长轴和短轴所在直线的方向向量。那为什么却能写成标准形式呢？”
实际上，任意可逆变换都可以分解成连续的两个变换，一个是只进行旋转，对应的是正交阵；另一个是在各个坐标轴方向按不同比例伸缩，对应的是正定对角阵；变换矩阵的作用等价于上述两个矩阵相乘。只要负责旋转的正交阵能将椭圆旋转成横平竖直的状态，二次型方程就可以变成对角型，而负责伸缩的正定对角阵可以随便取。正是因为这个对角阵左乘后对行的加权作用，使得可逆变换的两列向量不再是原椭圆的长轴和短轴所在直线的方向向量
4、“只有坐标轴分别在椭圆的长轴和短轴上，才能写成标准形式。对应的，我是否可以理解为正交变换其实是椭圆长轴和短轴的方向向量单位化组成的矩阵？”
说对了，也是上一条的补充，实现椭圆旋转的正交矩阵的两列分别是椭圆长轴和短轴的方向向量单位化
5、“因为正交变换所得出的标准型，保持了长度、形状的不变，还恰好使新坐标轴在长轴和短轴上。”
确实如此，这里的标准型实际上是前面说的规范型
6、“原二次型的特征值能表征原椭圆的什么性质？”
如果将二次型方程f(x1,x2,…,xn)=C中的C定义为1
那么特征值的平方根的倒数就是长轴和短轴的长度
1、“为了描述方便，以椭圆为例”
我想楼主的意思应该是：
为了描述方便，以二阶二次型为例，并以正定二次型为例
实际上，二次型是一种多元函数，描述的是映射关系。给定任意一组(x1,x2,…,xn)的值，就可以计算出对应的f(x1,x2,…,xn)的值
进而如果令f(x1,x2,…,xn)=C，这就成为了一个方程，描述的是一种约束关系，只有部分点(x1,x2,…,xn)能满足要求，二维情况下所有满足要求点构成了曲线，三维情况下所有满足要求点构成了曲面
对于二维情况，如果C>0，在二次型正定（两个特征值都大于0）的条件下表示的是椭圆，在半正定（两个特征值一个大于0一个等于0）条件下表示的是抛物线，在非负定（两个特征值一个大于0一个小于0）条件下表示的是双曲线
2、“二次型转化为标准型可以有无数多种可逆变换。对于可逆变换，其最终都会变为平方项的和的形式。而这一形式，是椭圆方程的标准型。”
实际上，二次型的变换有三种：
第一种叫对角型，对应的是方程只有平方项，系数在符合惯性指标的正负条件下，数值是任意的；
第二种叫标准型，不只是方程只有平方项，而且平方项的系数必须是1或-1或0，在正定二次型中平方项的系数都是1。此时椭圆就变成圆了；
前两种变换都可以通过多种变换方式实现（对应可逆变换矩阵有多种），对应的平面曲线或空间曲面可以发生变形（旋转、伸缩），而第三种叫规范型，对应的也是方程只有平方项，但要求平面曲线或空间曲面不发生变形，只有旋转，没有伸缩，它必须通过二次型的特征向量组成的正交矩阵进行变换才能实现，而且平方项的系数是确定的，就是二次型的特征值。
3、“所选取的可逆线性变换，并非都是原椭圆的长轴和短轴所在直线的方向向量。那为什么却能写成标准形式呢？”
实际上，任意可逆变换都可以分解成连续的两个变换，一个是只进行旋转，对应的是正交阵；另一个是在各个坐标轴方向按不同比例伸缩，对应的是正定对角阵；变换矩阵的作用等价于上述两个矩阵相乘。只要负责旋转的正交阵能将椭圆旋转成横平竖直的状态，二次型方程就可以变成对角型，而负责伸缩的正定对角阵可以随便取。正是因为这个对角阵左乘后对行的加权作用，使得可逆变换的两列向量不再是原椭圆的长轴和短轴所在直线的方向向量
4、“只有坐标轴分别在椭圆的长轴和短轴上，才能写成标准形式。对应的，我是否可以理解为正交变换其实是椭圆长轴和短轴的方向向量单位化组成的矩阵？”
说对了，也是上一条的补充，实现椭圆旋转的正交矩阵的两列分别是椭圆长轴和短轴的方向向量单位化
5、“因为正交变换所得出的标准型，保持了长度、形状的不变，还恰好使新坐标轴在长轴和短轴上。”
确实如此，这里的标准型实际上是前面说的规范型
6、“原二次型的特征值能表征原椭圆的什么性质？”
如果将二次型方程f(x1,x2,…,xn)=C中的C定义为1
那么特征值的平方根的倒数就是长轴和短轴的长度
平面上完整的二次曲线方程可以写成
ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0
系数的选择可以使得此曲线为椭圆，抛物线，双t曲线，以及退化为直线，点，以及曲线不存在
系数的改变可以实现曲线的平移，旋转，伸缩
在二次型里无一次项，只有ax^2+by^2+cxy+f=0
如果系数的选择已经保证了这是椭圆，那么它的中心一定在原点，没有平移
可以通过旋转和伸缩变成圆，或者倒过来说，它可以
通过圆的伸缩和旋转得到
单位圆的方程为x^2+y^2=1
用二次型方程表示为
[x;y]^T*E*[x;y]=1
（注：[x;y]（x分号y）表示列向量）
对坐标进行任意可逆变换，变换矩阵为P
即[x;y]=P*[u;v]
可得[u;v]^T*(P^T*P)*[u;v]=1（方程1）
令A=P^T*P
显然A为正定阵，
可通过特征值分解得到
A=Q^T*diag(a1,a2)*Q
其中Q为正交阵，a1和a2均大于0
再令R=diag(sqrt(a1),sqrt(a2))*Q
这是正定对角阵左乘正交阵的形式
同时可得[u;v]^T*(R^T*R)*[u;v]=1（方程2）
对比方程1与方程2，它们实际上表示的都是
二次型矩阵方程[u;v]^T*A*[u;v]=1
说明从单位圆变换成同一个椭圆
即可以使用可逆变换P，也可以使用可逆变换R
P是任意可逆矩阵
而R有着鲜明的几何意义：伸缩和旋转
ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0
系数的选择可以使得此曲线为椭圆，抛物线，双t曲线，以及退化为直线，点，以及曲线不存在
系数的改变可以实现曲线的平移，旋转，伸缩
在二次型里无一次项，只有ax^2+by^2+cxy+f=0
如果系数的选择已经保证了这是椭圆，那么它的中心一定在原点，没有平移
可以通过旋转和伸缩变成圆，或者倒过来说，它可以
通过圆的伸缩和旋转得到
单位圆的方程为x^2+y^2=1
用二次型方程表示为
[x;y]^T*E*[x;y]=1
（注：[x;y]（x分号y）表示列向量）
对坐标进行任意可逆变换，变换矩阵为P
即[x;y]=P*[u;v]
可得[u;v]^T*(P^T*P)*[u;v]=1（方程1）
令A=P^T*P
显然A为正定阵，
可通过特征值分解得到
A=Q^T*diag(a1,a2)*Q
其中Q为正交阵，a1和a2均大于0
再令R=diag(sqrt(a1),sqrt(a2))*Q
这是正定对角阵左乘正交阵的形式
同时可得[u;v]^T*(R^T*R)*[u;v]=1（方程2）
对比方程1与方程2，它们实际上表示的都是
二次型矩阵方程[u;v]^T*A*[u;v]=1
说明从单位圆变换成同一个椭圆
即可以使用可逆变换P，也可以使用可逆变换R
P是任意可逆矩阵
而R有着鲜明的几何意义：伸缩和旋转
