6 楼 的 题 改一下， 把 平方 ² 换一下，
原题 是 已知 3 x + 2 y = 6， 求 x ² + y ² 最大值， （实际上 应该是求 最小值）
改成 已知 x ² + y ² = 6 ， 求 3 x + 2 y 最大值 和 最小值 。
这样可以用三角函数换元 。 （滑稽）
3 x + 2 y 可以凑成 A sin α + B cos α ， A sin α + B cos α = 正弦函数， 我听 学帝 说， 这是 简谐函数 。
大约在 2022 年 7 月底 、8 月初， 学帝 、@ dons222 ， 我们 在 帖子 里 谈话， 在 理论物理吧， 谈着谈着， 我说起了 A sin α + B cos α ， 学帝 说这是 简谐函数， @ dons222 一听兴奋了， 追着 学帝 问， “真的吗 ？ 相位的差异可以用模长表示， 真的可以吗 ？” 学帝 慈祥 的 看了看 @ dons222 ， 丢下一句话， “可以在 数学 上 证明 。”
现在， 我证明了 A sin α + B cos α = 正弦函数 ， @ dons222 ， 要不要告诉你 ？
进一步思考， 原题 也能用 三角换元 。 即， 已知 3 x + 2 y = 6， 求 x ² + y ² 最小值， 能用 三角换元 。
设 r ² = x ² + y ² ， 则 y = 根号 ( r ² - x ² )
将 y = 根号 ( r ² - x ² ) 代入 3 x + 2 y = 6
3 x + 2 根号 ( r ² - x ² ) = 6
3 x + 2 根号 ( r ² - x ² ) = 6 是 r 和 x 的 隐函数， 求 r 的 最小值 。 这可以用 三角换元， 设 sin α = x / r ， 接下来， 大家试试 。
设 r ² = x ² + y ² ， 代入 3 x + 2 y = 6 ， 这算是 “反向代入” ？
在 思考 换元解题过程的种种情况 以及 三角换元 后 定义域 的 转换处理 的 时候， 又看了几遍 《困扰了我一星期的数学题》
https://tieba.baidu.com/p/9151180749 1 楼 题目 图片， 也看了几遍题目里 x, y 的 定义域 “ x, y ∈ R+ ” 这段， 突然注意到 R 的 右上角 有个 + ， 这样的话， x, y 都是 正实数， 原来一直以为是 整个 实数域， x, y 可以是正数 也可以是 负数 。
原来也看到 《困扰了我一星期的数学题》 2 楼
@GG吾 说， “注意范围哦”， 反复 看 题目 图片 时 也看到 R 的 右上角 有 + ， 看着也顺眼， 但感觉上想的还是 整个实数域， x, y 可正可负 。
虽然是 正实数域， 但对 原题 影响也不大， 最大值 仍然不存在， x 在 正实数域 无限增大， x ² + y ² 也无限增大， 对 最小值 会有些影响， 最小值 不一定是 极小值 。
既然 x ∈ R+ ， 那么这里 三角换元， sin α = x / r ， 就要注意 α 的 取值范围， 即 定义域， 即 三角换元 后 定义域 的 转换处理 。 但我思考 三角换元 后 定义域 的 转换处理 不是在 看到 x ∈ R+ ， 注意到 R 后面有个 + 之后， 恰恰相反， 是在之前 觉得 x, y ∈ R ， 整个实数域 的 时候， 因为 x, y 在整个实数域， 可为正数， 可为负数， 所以就想 如果 x 为负数 时， 会怎么样， 对 换元 和 换元后的 函数 定义域 和 值域 有什么影响 ？ 思考这些以后， 再看题目图片， 才注意到 R 后面有 + ， 大体的思路过程是这样， 当然， 思路这个东西是很难说清的， 也许不是这样， 也许是先不经意的注意到 R 后面有 + ， 才想起考虑 三角换元 后 定义域 的 转换处理 的 一系列事件 。
三角换元 的 缺点 是 把 结果 变成了 超越数， 结果 指 极值条件 和 极值 。 极值条件 就是 x = ? 时， r 取极值 。 比如这里 三角换元 后 的 极值条件 是 x / r = sin ( π/2 - arcsin B/n ) 的 形式， x / r = sin ( π/2 - arcsin B/n ) 是 超越数 。 但实际上这题， 也就是 原题 可以用 代入法 和 数形结合 解， 得到 的 极值 和 极值条件 是 代数数 。
也就是说， 这里的 x / r = sin ( π/2 - arcsin B/n ) 这个 超越数 是 代数数， 又或说， 既是 超越数， 又是 代数数， 但实际上， 这些说法不对， 应该是， x / r = sin ( π/2 - arcsin B/n ) 是 代数数 。 这有些不可思议， 但想想也不奇怪， sin 30° = 1/2 ， 是 有理数， sin 45° = 根号 2 / 2 ， 是 无理数， 都是 代数数 。
但如果我们没有用 代入法 、数形结合 解题， 或 题目 可能存在 简化的代入法 但我们还没找到， 那么， 用 三角换元 后 得到 的 极值条件 和 极值， 我们不知道是不是 超越数， 不能确定 。
为什么说 “可能存在 简化的代入法 但我们还没找到”， 因为， 比如， 一些题目， 用 代入法 可以得到 代数方程， 五次以上 代数方程 的 解 是 超越数， 据此可以判断 极值条件 和 极值 是不是 超越数， 但也许存在 简化 的 代入法 或 其它方法 可以得到 四次以下 的 方程 呢 ？
但实际上， x 是不是 超越数， 还跟 r 是不是 超越数 有关， 现在不确定 x / r = sin ( π/2 - arcsin B/n ) 是不是 超越数， 那 r 是不是 超越数 ？ 仔细想一下， 极值条件 x 和 极值 r 是不是 超越数， 分析起来 还有一点 周折， 也许 一些 因素 互相抵消后， 又可以确定 是否 超越数 了 呢 ？ 我分析了一下， 还是不能确定 是否 超越数， 就是说， 这题 三角换元 后， 不能确定 极值条件 x 和 极值 r 是不是 超越数 。
小小的补充一点 ： 其实在这一题里， r 可以知道 是 代数数 。
刚才说 “分析起来 还有一点 周折”， 有点想多了 。
我们 讨论过 “两个 超越数 的 和 会不会是 无理数 ？” 这样的话题， 在 《猜想：e＋π或e×π为有理数，求证明》
https://tieba.baidu.com/p/8327270906 。
实际上， 五次以上方程 和 三角换元 一样， 面临一样的问题， 比如， 一些题目， 推导出 五次以上方程， 但不知道还有没有简化的方法可以推导出 四次以下方程， 若有 简化的方法 推导出 四次以下方程， 则意味着 题目 的 解 是 代数数， 但 因为 不知道 还有没有简化的方法可以推导出 四次以下方程， 所以 就没办法 判断 刚才推导出的 五次以上方程 的 解 是 超越数 还是 代数数， 也就是 没办法 判断 题目 的 解 是 超越数 还是 代数数 。
另一方面， 若有 简化的方法 推导出 四次以下方程， 则意味着 题目 的 解 是 代数数， 则 刚才推导出的 五次以上方程 的 解 也是 代数数， 这意味着 这个 五次以上方程 的 结构 是 某种 特定 的 结构， 可以 凑出 求根公式， 得到 代数解 。
“这意味着 这个 五次以上方程 的 结构 是 某种 特定 的 结构， 可以 凑出 求根公式， 得到 代数解”， 这么说有些武断， 实际情况并不是这么简单， 需要分析具体的 素材 、案例 才能说的 清楚 、明白 、准确 。 我们需要 研究 比较多的 素材 、案例， 实际上， 我们缺少足够多的 素材 、案例 的 研究 。
绕了半天， 如果用 余弦函数， A sin α + B cos α = 余弦函数 ， sin 和 arcsin 或 cos 和 arccos 可以抵消， 极值条件 x 仍然是 代数数， 怪不得 中学辅导书 要写那么厚一本， 几本， 琳琅满目， 一道题目， 技巧， 方法挺多， 这方法， 那方法， 选错了方法， 解题质量和效率大打折扣， 考分大起大落， 如此态势， 学生怎能不循规蹈矩 ？ 像我这样， 明明用 余弦函数 能 快速解题， 偏要弄个 正弦函数 出来， 弄了一个星期， 得到的 还不是 最简答案 、标准答案， 考试就不用考了， 一场考试 两个小时， 两个小时 只做一道题， 得到的 还不是 最简答案 、标准答案， 考试不及格， 倒数第一， 很容易被扫进差生行列， 天才就被埋没了 。
还是别闹了， 绕到最后， 刚刚发现， 最新发现， sin ( π/2 - arcsin B/n ) 的 sin 和 arcsin 也能抵消， 得到 代数数 。 结论 ： 天才考试太吃亏， 考试对天才 杀伤力 太大 。
这次 的 三角换元 之旅， 有一些 未知， 有一些 新奇， 有一些 冒险， 就像 小时候 看的 《动画大王》 上 小朋友 和 卡通人物 们 环游世界 的 一个个 历险故事， 有一些未知， 有一些新奇， 有一些冒险， 都是童趣 。
小朋友们， 你们准备好了吗 ？
