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8619 类Liang-Zelich构型
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Feuergonne
知名人士
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如图,三角形ABC的外心、垂心分别为O,H,P,Q是一对等角共轭点,PQ交OH于点S,过S作BC的垂线交AP于点S1,类似定义点S2,S3,三角形S1S2S3的外心、垂心分别为O',H',设点P关于S1S2S3的等角共轭点为R,PR交O'H'于T,证明:
1. P,Q,R三点共线
2. HS/SO + H'T/TO' = 0
Feuergonne
知名人士
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本题取S为九点圆圆心的特例,稍加变形即为
8606 陈的,但不会
的推广(见5楼)
一呀k
知名人士
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1的证明
事实上:设△ABC与△DEF正交,△ABC对△DEF的正交中心为S_1,△DEF对△ABC的正交中心为S_2,X、Y满足AX ⫽ DY、BX ⫽ EY、CX ⫽ FY,X关于△ABC的等角共轭点为Q,Y关于△DEF的等角共轭点为R,则S_1Q ⫽ S_2R
证明:先作位似变换,重新记S_1为S,作S关于△ABC的Carnot△DEF,△ABC、△DEF外心O、O_P,S关于△ABC的等角共轭点为gS
SQ→S_2R射影对应,取三个特例:Q=O,R=S;Q=gS,R=O_P;Q=∞,由8653,R=OQ∩SO_P
一呀k
知名人士
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2的证明 (转化视角后就容易了)
引理:P,Q关于△ABC的反射三角形为PaPbPc,QaQbQc,等角共轭点为gP,gQ,△ABC外心O,垂心H,Q关于QaQbQc的等角共轭点为R.
(1)PQO共线<=>△PaPbPc与△QaQbQc正交;(2)当PQO共线,设PaPbPc对QaQbQc的正交中心为S,则HPgQ共线<=>QR⫽PS.
证:(1)PQO共线<=>ABCHgPgQ共锥线<=>gP在ABC对QaQbQc的类透视锥线上<=>△PaPbPc与△QaQbQc正交.(2)QR⫽PS<=>OgQgP共线<=>HPgQ共线.
回到原题,设P关于△S1S2S3的卡诺三角形为OaObOc,OaObOc的外心,垂心为Op,Hp,OaObOc对ABC的正交中心为K,K关于OaObOc的等角共轭点为gK,(以OaObOc为主三角形)由引理知P=KHp∩gKOp,注意P关于ABC的卡诺三角形与OaObOc位似(gK与P对应),结合Liang-Zelich定理即证.
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