众所周知，最小的世界基数拥有ω共尾，直观上来说，我们应该可以在宇宙中找到一些元素组成一个ω长序列，从而见证Vk不是ZFC的模型，但事实却是Vk的确是ZFC的模型——这是如何可能的？
首先证明最小的世界基数确实是ω共尾(ZFC)：
1.假设存在一个不可达基数，记为k，显然有Vk⊨ZFC
2.固定一个对ZFC公理的枚举{ϕn ∣ n∈ω}
3.定义一个k^ω中的序数序列〈αn:n∈ω〉使α0＝ω
αi+1是最小的大于αi的序数，使得任意x1,x2,x3...xn∈Vαi，若(Vk,∈)满足存在v,φ(x1,x2,x3...xn)，则存在x∈Vαi+1，使得(Vk,∈)满足φ(x,x1,x2,x3...xn)，取集合{αn:n∈ω}的上确界(记为α)，根据塔斯基判据
【任意y1,y2,y3...yn∈Vα，若(Vk,∈)满足存在v0,φ(y1,y2,y3...yn)，则(Vα,∈)也满足
则(Vα,∈)≺(Vk,∈)】
推出Vα是Vk的初等子模型，则Vα也是ZFC的模型，α为世界基数且拥有ω共尾
则最小的世界基数不是不可达基数，且对于任意共尾大于ω的世界基数，以上的证明依然有效。
而最小世界基数必然是ω共尾的原因也正是如此，考虑到世界基数的共尾{αn:αn为Σn正确基数，n∈ω}
任意给定的n，zfc都能证明存在Σn正确基数，而在宇宙之外，我们看到zfc实际上证明了对于任意(内理论中的)自然数，Σn正确基数存在
现在考虑一个集族(序列){xn}，指标集为ω，集族中的元素为最小的Σn正确基数
可以知道，这样的序列，其上确界不在Vk中，否则，将存在α＜k，使得α也是世界基数。这也是非正则世界基数的Vk不是格罗滕迪克宇宙的原因：格罗滕迪克宇宙确保了宇宙内的所有序列都在它之中封闭——即使是那些不可定义的序列。
那么，我们进一步地问，最小世界基数和最小不可达基数之间的差距有多大？或者说，最小共尾为ω1的世界基数与最小的世界基数差距有多大？
首先：如上文所述，若k为世界基数，那么我们从外面可以看到对于任意Vk中的自然数n，Σn-正确基数构成了一个包含无界闭类的序数类，取Cn为Σn正确基数类包含的无界闭类
对k进行进一步强化，我们就要保证Cn收集的无穷交不为空，考虑这样的最弱强化，使k下Σn-正确基数的无界闭集的无穷交中有一个元素，容易看出，这个元素(记为a)不仅是世界基数，而且满足Va≺Vk
，即一个其下有一个正确基数的世界基数，这样的基数称为理型界基数。通过简单的反射论证，可以证明这样的k是第k个世界基数，第k个超世界基数等等，以至于具有任何可能的世界秩(k+世界基数)。我们甚至可以仿照上面的证明，将ZFC替换为(Vk,∈)满足的一阶理论，甚至于Vk上的＜k阶理论，然后在k下找到一个x，使得Vx满足同样的理论：
【定理：b是Σ2理型界基数(存在一个作为Σ2-正确基数的世界基数)，k为其投影界秩，则Vk与Vb满足相同的α＜k阶理论
证明：Vk满足α阶理论，取决于结构M＝(Vk,Vk+1,...,Vk+α)，显然M∈Vb，则Vb总能看到Vk满足的任意α阶理论T，则Vb满足“存在x，Vx满足T”——这是一个Σ2性质，则Vk也满足“存在x，Vx满足T”，并且由于Vb见证了以k为参数的Σ2命题，可以得到满足相同α阶理论的x在k下任意大，甚至于这样的x可以是Σn正确基数】
如果无穷交中的元素有两个，那么我们将得到其下有两个正确基数的世界基数，以此类推，如果无穷交的结果依然是无界闭集，我们就得到了一个ZFC+存在无界多异世界基数的模型。而即使如此，我们距离最小的共尾为ω1的世界基数依然很远。更进一步的强化需要对无界闭集中的元素也做出规定：例如使得Cn集的无穷交不仅含有元素，而且其中有一个元素同样满足Cn集的无穷交非空，我们就得到了一个正确基数的双重链：Vk’≺Vk’’≺Vk，而对于共尾为ω1的世界基数，根据无界闭集的定义，若α的共尾γ大于ω，则对任意β＜γ，β长的无界闭序列的β-任意交也是无界闭集，我们可以得到一条ω1长的嵌入链：Vk0≺Vk1≺Vk2...，使得Vk是其之并(例如取Σn正确基数类的无界序列之外，还取它们交得的那个无界闭集，再取它们交的交的无界闭集...)
通过简单的论证，我们同样知道，若k是不可达基数，定义Vk上的偏序关系≺，对任意a,b＜k，a≺b当且仅当a∈b且Va≺Vb，则(Vk,≺)的最大良序链长为k
首先证明最小的世界基数确实是ω共尾(ZFC)：
1.假设存在一个不可达基数，记为k，显然有Vk⊨ZFC
2.固定一个对ZFC公理的枚举{ϕn ∣ n∈ω}
3.定义一个k^ω中的序数序列〈αn:n∈ω〉使α0＝ω
αi+1是最小的大于αi的序数，使得任意x1,x2,x3...xn∈Vαi，若(Vk,∈)满足存在v,φ(x1,x2,x3...xn)，则存在x∈Vαi+1，使得(Vk,∈)满足φ(x,x1,x2,x3...xn)，取集合{αn:n∈ω}的上确界(记为α)，根据塔斯基判据
【任意y1,y2,y3...yn∈Vα，若(Vk,∈)满足存在v0,φ(y1,y2,y3...yn)，则(Vα,∈)也满足
则(Vα,∈)≺(Vk,∈)】
推出Vα是Vk的初等子模型，则Vα也是ZFC的模型，α为世界基数且拥有ω共尾
则最小的世界基数不是不可达基数，且对于任意共尾大于ω的世界基数，以上的证明依然有效。
而最小世界基数必然是ω共尾的原因也正是如此，考虑到世界基数的共尾{αn:αn为Σn正确基数，n∈ω}
任意给定的n，zfc都能证明存在Σn正确基数，而在宇宙之外，我们看到zfc实际上证明了对于任意(内理论中的)自然数，Σn正确基数存在
现在考虑一个集族(序列){xn}，指标集为ω，集族中的元素为最小的Σn正确基数
可以知道，这样的序列，其上确界不在Vk中，否则，将存在α＜k，使得α也是世界基数。这也是非正则世界基数的Vk不是格罗滕迪克宇宙的原因：格罗滕迪克宇宙确保了宇宙内的所有序列都在它之中封闭——即使是那些不可定义的序列。
那么，我们进一步地问，最小世界基数和最小不可达基数之间的差距有多大？或者说，最小共尾为ω1的世界基数与最小的世界基数差距有多大？
首先：如上文所述，若k为世界基数，那么我们从外面可以看到对于任意Vk中的自然数n，Σn-正确基数构成了一个包含无界闭类的序数类，取Cn为Σn正确基数类包含的无界闭类
对k进行进一步强化，我们就要保证Cn收集的无穷交不为空，考虑这样的最弱强化，使k下Σn-正确基数的无界闭集的无穷交中有一个元素，容易看出，这个元素(记为a)不仅是世界基数，而且满足Va≺Vk
，即一个其下有一个正确基数的世界基数，这样的基数称为理型界基数。通过简单的反射论证，可以证明这样的k是第k个世界基数，第k个超世界基数等等，以至于具有任何可能的世界秩(k+世界基数)。我们甚至可以仿照上面的证明，将ZFC替换为(Vk,∈)满足的一阶理论，甚至于Vk上的＜k阶理论，然后在k下找到一个x，使得Vx满足同样的理论：
【定理：b是Σ2理型界基数(存在一个作为Σ2-正确基数的世界基数)，k为其投影界秩，则Vk与Vb满足相同的α＜k阶理论
证明：Vk满足α阶理论，取决于结构M＝(Vk,Vk+1,...,Vk+α)，显然M∈Vb，则Vb总能看到Vk满足的任意α阶理论T，则Vb满足“存在x，Vx满足T”——这是一个Σ2性质，则Vk也满足“存在x，Vx满足T”，并且由于Vb见证了以k为参数的Σ2命题，可以得到满足相同α阶理论的x在k下任意大，甚至于这样的x可以是Σn正确基数】
如果无穷交中的元素有两个，那么我们将得到其下有两个正确基数的世界基数，以此类推，如果无穷交的结果依然是无界闭集，我们就得到了一个ZFC+存在无界多异世界基数的模型。而即使如此，我们距离最小的共尾为ω1的世界基数依然很远。更进一步的强化需要对无界闭集中的元素也做出规定：例如使得Cn集的无穷交不仅含有元素，而且其中有一个元素同样满足Cn集的无穷交非空，我们就得到了一个正确基数的双重链：Vk’≺Vk’’≺Vk，而对于共尾为ω1的世界基数，根据无界闭集的定义，若α的共尾γ大于ω，则对任意β＜γ，β长的无界闭序列的β-任意交也是无界闭集，我们可以得到一条ω1长的嵌入链：Vk0≺Vk1≺Vk2...，使得Vk是其之并(例如取Σn正确基数类的无界序列之外，还取它们交得的那个无界闭集，再取它们交的交的无界闭集...)
通过简单的论证，我们同样知道，若k是不可达基数，定义Vk上的偏序关系≺，对任意a,b＜k，a≺b当且仅当a∈b且Va≺Vb，则(Vk,≺)的最大良序链长为k
