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求助,关于轨道计算问题

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这题怎么做的?求详细思路分析谢谢!


IP属地:广东1楼2024-02-19 10:49回复
    1先分析两部分受力情况得到运动情况。
    在星球内m∝r³,故f∝r,故fx∝x,fy∝y,质点在x,y轴上做各自的简谐振动,故质点在内部的轨迹是以O为中心的椭圆(外部的轨迹是以O为焦点的椭圆)。由a点v⊥r和r<R可知oa是这个椭圆的短轴。而椭圆长轴,也就是⊥oa上质点能运动到多远由v决定,v越大长轴越长。质点能出射的条件自然转化为椭圆与圆有交点,极限情况就是长轴点与圆相切,长轴=R,据此可算出第一问求的最小出射v。
    2.n圈回到原位,你需要先对这个条件变形得到容易计算的表述。假如说在内部质点绕圆心的角度为θ,在外部绕心角度是π(题设),则内外内外m次总角度就是m(θ+π),总绕行n圈意思是总角度是2nπ,故m(θ+π)=2nπ。从n=1开始寻找最小n:
    若n=1则m=1,θ=π。这种情况不可能出现,若相切出射后必然立刻回到内部,bb'重合而不是对称,矛盾。
    若n=2则m=2,θ=π(同上不可能)或者m=3,θ=π/3,即aob=π/6=30度。
    若n=3,则θ=π/2或π/5
    ...
    之后用能量角动量,用待定系数法根据B点的v求出椭圆极坐标方程。根据aob=θ
    /2(方程1),和两次经过R时Δθ外=π(方程2),求解两个未知数v,r。并保证解在正确范围内(a在b左边故r>Rcosθ)


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    IP属地:安徽来自Android客户端3楼2024-02-19 16:05
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      笨办法,写出L,然后算算算1/2m[(∂₀r)²+(r∂₀φ)²]+Mmr²,r<R
      1/2m[(∂₀r)²+(r∂₀φ)²]+Mm/r,r>R


      IP属地:四川来自iPhone客户端4楼2024-02-19 17:59
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        那吧主大大有没有什么补充的呢?@rollkite


        IP属地:广东来自Android客户端6楼2024-02-19 21:58
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            关于n的分析……首先运动阶段上面已经讲了(当然去掉涉C的部分),过O点作BB'垂线,A和A'关于这条垂线对称
            当n=1时,∠AOA'=0,即A和A'重合于对称轴上,此时∠AOB=π/2,从轨迹上面看是似乎可行的……


          IP属地:江苏来自Android客户端7楼2024-02-19 23:35
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            我剖析一下2楼说的话:
            1先分析两部分受力情况得到运动情况。
            在星球内m∝r³,故f∝r,故fx∝x,fy∝y,质点在x,y轴上做各自的简谐振动,故质点在内部的轨迹是以O为中心的椭圆。
            质点在内部做简谐振动,且给出了m∝r³的关系,可以推导出质点在内部轨迹为椭圆的原因如下:
            由于m∝r³,即质量与距离的关系是r的三次方,可以得出力f∝r,即受力与距离成正比。
            根据简谐振动的特点,质点在x、y轴上做简谐振动,即在两个方向上都会受到恢复力的作用,且恢复力与位移成正比。
            由于fx∝x和fy∝y,根据受力的方向,质点在x轴上的位移x和y轴上的位移y会受到不同的恢复力作用,因此在内部轨迹是以O为中心的椭圆。
            因此,这是由于质点受力与距离成正比、受力方向不同而导致的质点在内部轨迹为椭圆的现象。


            IP属地:广东来自Android客户端8楼2024-02-20 08:11
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              (外部的轨迹是以O为焦点的椭圆)。由a点v⊥r和r<R可知oa是这个椭圆的短轴。而椭圆长轴,也就是⊥oa上质点能运动到多远由v决定,v越大长轴越长。
              此段话描述了质点在外部轨迹为以O为焦点的椭圆,并指出了oa是这个椭圆的短轴,而椭圆长轴取决于质点能够运动的距离,而这个距离由质点的速度v决定。
              由于a点速度v⊥r,即速度v与矢量r垂直,这说明质点在a点的速度方向是沿着椭圆的切线方向,这是椭圆轨迹的一个特点。
              由于r<R,即质点距离焦点O的距离r小于椭圆的长轴长度R,这说明质点在椭圆内部运动,使得oa成为短轴。
              质点在椭圆轨迹上能够到达的最远距离取决于速度v的大小,速度越大,质点能够运动到的距离也就越远,从而决定了椭圆的长轴长度。
              因此,根据速度v与矢量r垂直、质点在椭圆内部运动以及速度大小决定了质点能够到达的最远距离,可以得出椭圆轨迹长轴的长度取决于速度v的大小。


              IP属地:广东来自Android客户端9楼2024-02-20 08:13
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                  之前漏考虑了质点在B时虽然有动能,但还是飞出不去……所以把上面删了,重发一下第1问
                  BB'记为x方向,AO记为y方向,只要初速度v能保证x方向的简谐运动振幅为R即可
                  方法一:直接用简谐运动公式(速度最大值=ωA、加速度最大值=ω²A):
                  在B点vₓ=0,aₓ最大,从力的角度,aₓ=kR,其中k=G(ρ·4π/3)……于是有ω=√k
                  在A点,vₓ最大,vᵧ=0,所以v=vₓ=ωA=R√k
                  (可能很多人会忘记简谐运动速度、加速度公式,所以还有第二种方法)
                  方法二:把质点平移到O后,用△动能=△势能的关系
                  引力做功U=∫ kmh·dh(定积分范围0到R)=½kmR²
                  所以½mv²=½kmR²,解得v=R√k


                IP属地:江苏来自Android客户端10楼2024-02-20 08:39
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                  到了第二问,归纳得出,质点在内部绕圆心的角度为θ,在外部绕心角度为π。根据题设,内外内外m次总角度为m(θ+π),而总绕行n圈意思是总角度为2nπ,因为质点绕椭圆轨迹内外各走一圈,即绕行了2n圈,因此总角度为2nπ。这是因为每绕一圈,质点走过的角度是2π。
                  因此,有关系式m(θ+π)=2nπ。
                  接下来,SH你通过从n=1开始寻找最小n的过程来得出结论。当n=1时,得到m=1和θ=π,但这种情况不可能出现,因为如果质点相切出射后必然会立即回到内部,导致bb'重合而不是对称,这是矛盾的。所以排除了n=1的情况。
                  接着依样画葫芦,逐一推理试验。


                  IP属地:广东11楼2024-02-20 09:19
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                    S说,之后用能量角动量,用待定系数法根据B点的v求出椭圆极坐标方程。纯纯的计算时间了,为了简潔,我草稿截图吧


                    IP属地:广东12楼2024-02-20 09:39
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                      再进一步分析,继续



                      IP属地:广东13楼2024-02-20 10:07
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                        IP属地:上海来自Android客户端14楼2024-02-20 12:19
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                            (第一张图)
                            蓝色的是内部轨迹遵循的椭圆,红色是外部轨迹遵循的椭圆
                            蓝椭圆以O为中心,以OA为短轴,另外只有在v临界刚能飞出去的时候才以OB为长轴
                            红椭圆以O为一个焦点,和OA没什么关系
                            (第二张图)
                            绿椭圆是第二段内部轨迹遵循的椭圆,是蓝椭圆沿BB'垂线的对称……因此以OA'为短轴
                            只要所有参数定下了,∠AOA'就是一个定值,不随时间而变。它也是A点的进动角度,即∠AOA'=∠A'OA''=∠A''OA'''=……直到这个进动角累计成2kπ,A''˙˙˙'就和A点重合



                          IP属地:江苏来自Android客户端15楼2024-02-20 17:20
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