1先分析两部分受力情况得到运动情况。
在星球内m∝r³，故f∝r，故fx∝x，fy∝y，质点在x，y轴上做各自的简谐振动，故质点在内部的轨迹是以O为中心的椭圆（外部的轨迹是以O为焦点的椭圆）。由a点v⊥r和r＜R可知oa是这个椭圆的短轴。而椭圆长轴，也就是⊥oa上质点能运动到多远由v决定，v越大长轴越长。质点能出射的条件自然转化为椭圆与圆有交点，极限情况就是长轴点与圆相切，长轴＝R，据此可算出第一问求的最小出射v。
2.n圈回到原位，你需要先对这个条件变形得到容易计算的表述。假如说在内部质点绕圆心的角度为θ，在外部绕心角度是π（题设），则内外内外m次总角度就是m（θ+π），总绕行n圈意思是总角度是2nπ，故m（θ+π）=2nπ。从n＝1开始寻找最小n：
若n＝1则m=1，θ=π。这种情况不可能出现，若相切出射后必然立刻回到内部，bb'重合而不是对称，矛盾。
若n=2则m=2，θ=π（同上不可能）或者m=3，θ＝π/3，即aob=π/6=30度。
若n=3，则θ=π/2或π/5
...
之后用能量角动量，用待定系数法根据B点的v求出椭圆极坐标方程。根据aob＝θ
/2（方程1），和两次经过R时Δθ外=π（方程2），求解两个未知数v，r。并保证解在正确范围内（a在b左边故r＞Rcosθ）

笨办法，写出L，然后算算算1/2m[(∂₀r)²+(r∂₀φ)²]+Mmr²，r<R
1/2m[(∂₀r)²+(r∂₀φ)²]+Mm/r，r>R

那吧主大大有没有什么补充的呢？@rollkite

　　关于n的分析……首先运动阶段上面已经讲了（当然去掉涉C的部分），过O点作BB'垂线，A和A'关于这条垂线对称
　　当n=1时，∠AOA'=0，即A和A'重合于对称轴上，此时∠AOB=π/2，从轨迹上面看是似乎可行的……

我剖析一下2楼说的话:
1先分析两部分受力情况得到运动情况。
在星球内m∝r³，故f∝r，故fx∝x，fy∝y，质点在x，y轴上做各自的简谐振动，故质点在内部的轨迹是以O为中心的椭圆。
质点在内部做简谐振动，且给出了m∝r³的关系，可以推导出质点在内部轨迹为椭圆的原因如下：
由于m∝r³，即质量与距离的关系是r的三次方，可以得出力f∝r，即受力与距离成正比。
根据简谐振动的特点，质点在x、y轴上做简谐振动，即在两个方向上都会受到恢复力的作用，且恢复力与位移成正比。
由于fx∝x和fy∝y，根据受力的方向，质点在x轴上的位移x和y轴上的位移y会受到不同的恢复力作用，因此在内部轨迹是以O为中心的椭圆。
因此，这是由于质点受力与距离成正比、受力方向不同而导致的质点在内部轨迹为椭圆的现象。

（外部的轨迹是以O为焦点的椭圆）。由a点v⊥r和r＜R可知oa是这个椭圆的短轴。而椭圆长轴，也就是⊥oa上质点能运动到多远由v决定，v越大长轴越长。
此段话描述了质点在外部轨迹为以O为焦点的椭圆，并指出了oa是这个椭圆的短轴，而椭圆长轴取决于质点能够运动的距离，而这个距离由质点的速度v决定。
由于a点速度v⊥r，即速度v与矢量r垂直，这说明质点在a点的速度方向是沿着椭圆的切线方向，这是椭圆轨迹的一个特点。
由于r＜R，即质点距离焦点O的距离r小于椭圆的长轴长度R，这说明质点在椭圆内部运动，使得oa成为短轴。
质点在椭圆轨迹上能够到达的最远距离取决于速度v的大小，速度越大，质点能够运动到的距离也就越远，从而决定了椭圆的长轴长度。
因此，根据速度v与矢量r垂直、质点在椭圆内部运动以及速度大小决定了质点能够到达的最远距离，可以得出椭圆轨迹长轴的长度取决于速度v的大小。

　　之前漏考虑了质点在B时虽然有动能，但还是飞出不去……所以把上面删了，重发一下第1问
　　BB'记为x方向，AO记为y方向，只要初速度v能保证x方向的简谐运动振幅为R即可
　　方法一：直接用简谐运动公式（速度最大值=ωA、加速度最大值=ω²A）：
　　在B点vₓ=0，aₓ最大，从力的角度，aₓ=kR，其中k=G(ρ·4π/3)……于是有ω=√k
　　在A点，vₓ最大，vᵧ=0，所以v=vₓ=ωA=R√k
　　（可能很多人会忘记简谐运动速度、加速度公式，所以还有第二种方法）
　　方法二：把质点平移到O后，用△动能=△势能的关系
　　引力做功U=∫ kmh·dh（定积分范围0到R）=½kmR²
　　所以½mv²=½kmR²，解得v=R√k

到了第二问，归纳得出，质点在内部绕圆心的角度为θ，在外部绕心角度为π。根据题设，内外内外m次总角度为m(θ+π)，而总绕行n圈意思是总角度为2nπ，因为质点绕椭圆轨迹内外各走一圈，即绕行了2n圈，因此总角度为2nπ。这是因为每绕一圈，质点走过的角度是2π。
因此，有关系式m(θ+π)=2nπ。
接下来，SH你通过从n=1开始寻找最小n的过程来得出结论。当n=1时，得到m=1和θ=π，但这种情况不可能出现，因为如果质点相切出射后必然会立即回到内部，导致bb'重合而不是对称，这是矛盾的。所以排除了n=1的情况。
接着依样画葫芦，逐一推理试验。

S说，之后用能量角动量，用待定系数法根据B点的v求出椭圆极坐标方程。纯纯的计算时间了，为了简潔，我草稿截图吧

再进一步分析，继续

　　（第一张图）
　　蓝色的是内部轨迹遵循的椭圆，红色是外部轨迹遵循的椭圆
　　蓝椭圆以O为中心，以OA为短轴，另外只有在v临界刚能飞出去的时候才以OB为长轴
　　红椭圆以O为一个焦点，和OA没什么关系
　　（第二张图）
　　绿椭圆是第二段内部轨迹遵循的椭圆，是蓝椭圆沿BB'垂线的对称……因此以OA'为短轴
　　只要所有参数定下了，∠AOA'就是一个定值，不随时间而变。它也是A点的进动角度，即∠AOA'=∠A'OA''=∠A''OA'''=……直到这个进动角累计成2kπ，A''˙˙˙'就和A点重合