首先,考虑一个正99边形,其顶点上的数字可以通过旋转进行重合。这意味着,如果我们将顶点上的数字进行旋转,得到的新的排列与原来的排列是相同的。因此,我们只需要考虑那些不同的排列。
我们可以从最简单的情况开始考虑,即只有一个数字不在其应该在的位置上。比如说,数字1不在顶点1上,而是在顶点2上。在这种情况下,我们只需要进行一次操作,即将1和2交换位置,就可以得到所有数字都在正确位置上的排列。
接下来,考虑有两个数字不在其应该在的位置上的情况。如果这两个数字相邻,比如说1在顶点2上,2在顶点3上,那么我们只需要进行一次操作,即将1和2交换位置,然后2和3交换位置,就可以得到所有数字都在正确位置上的排列。如果这两个数字不相邻,比如说1在顶点2上,3在顶点4上,那么我们需要进行三次操作,即将1和2交换位置,然后2和3交换位置,最后3和4交换位置,就可以得到所有数字都在正确位置上的排列。
通过以上的分析,我们可以发现,无论有多少个数字不在其应该在的位置上,我们都可以通过一系列的操作将它们交换到正确的位置上。而且,每次操作都可以将至少一个数字移动到其应该在的位置上。因此,我们只需要进行至多98次操作,就可以将一种放置方式变为任意另一种。
因此,最小的正整数n为98。
我们可以从最简单的情况开始考虑,即只有一个数字不在其应该在的位置上。比如说,数字1不在顶点1上,而是在顶点2上。在这种情况下,我们只需要进行一次操作,即将1和2交换位置,就可以得到所有数字都在正确位置上的排列。
接下来,考虑有两个数字不在其应该在的位置上的情况。如果这两个数字相邻,比如说1在顶点2上,2在顶点3上,那么我们只需要进行一次操作,即将1和2交换位置,然后2和3交换位置,就可以得到所有数字都在正确位置上的排列。如果这两个数字不相邻,比如说1在顶点2上,3在顶点4上,那么我们需要进行三次操作,即将1和2交换位置,然后2和3交换位置,最后3和4交换位置,就可以得到所有数字都在正确位置上的排列。
通过以上的分析,我们可以发现,无论有多少个数字不在其应该在的位置上,我们都可以通过一系列的操作将它们交换到正确的位置上。而且,每次操作都可以将至少一个数字移动到其应该在的位置上。因此,我们只需要进行至多98次操作,就可以将一种放置方式变为任意另一种。
因此,最小的正整数n为98。