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【OEIS Index】https://oeis.org/wiki/Index_to_OEIS

OEIS创始人N. J. A. Sloane在他的随笔《Seven Staggering Sequences》（七个令人惊奇的数列） http://neilsloane.com/doc/g4g7.pdf
中列举了七个优秀原创的例子。这些数列定义简单，但通过贡献者的讨论，被挖掘出许多有趣的性质，有趣性不亚于Fibonacci等数列。不断产生有趣的原创数列，就是OEIS的真正目的。

1. A064413 （EKG Sequence）https://oeis.org/A064413
EKG数列有简单的递推定义：a (1) = 1，a (2) = 2，对于n > 2，a (n) 是最小未在a (1) 至 a (n-1) 出现，与a (n-1) 不互质的正整数。
前几项为1, 2, 4, 6, 3, 9, 12, 8, 10, 5, 15, 18, 14, 7, 21, 24, 16, 20, 22, 11, 33, 27, 30, 25, 35, 28, 26, 13, 39, 36, 32, 34, 17, 51, 42, 38, 19, 57, 45, 40, 44, 46, 23, 69, 48, 50, 52, 54, 56, 49, 63, 60, 55, 65, 70, 58, 29, 87, 66, 62, 31, 93, 72, 64, 68, 74, 37, 111, 75, 78, 76, 80, 82。
EKG数列的名字源于其图像类似心电图（electrocardiogram），但这个名字不贴近数列的本质，不利于进一步分析，可以根据定义特点将它称为GGCD数列（Greedy GCD Sequence）。
GGCD数列有如下基本性质：
（1）GGCD数列是全体正整数的一个排列。
（2）GGCD数列中，所有质数以递增顺序出现。
（3）GGCD数列中，任何奇质数p在2p之后，3p之前。
这些性质都已经被证明（https://arxiv.org/pdf/math/0204011.pdf https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL11/Hofman/hofman1.pdf）
，但在逻辑上有区别。（1）（2）可以用初等证法证明，而（3）的证明十分困难。（2）是证明（1）所用的一个引理。一般来说，这就可以决定（1）更可能被一般化。

（1）（2）的证明：
我们首先对这个序列作一些一般性的说明。
对于n≥2，设g=gcd{a(n-1)，a(n)}。对于a(n-1)的素因子p，a(n)是最小的尚未出现过的p的倍数（否则较小的p的倍数将是更好的a(n)的候选数）。我们称这样的素数p为a(n)的控制素数。可能不止一个，而且它们的乘积被g整除。
对于任何素数p和n≥2，设B_p(n)是p的最小倍数 ，且不在{a(1)，…，a(n−1)}中。例如，序列{B_2(n)：n≥2}开始于2、4、6、8、8、10，14, ...显然对于所有p，n≥2，B_p(n)≤B_p(n+1)≤pn。
那么我们得到a(1)=1，a(n)=min{B_p(n):p|a(n−1)}，对于n≥2，这提供了序列的替代定义。
引理1：设p是整除数列某项的奇素数。如果p最先整除a(n)，则a(n)=qp，其中q是整除a(n-1)的最小素数，q<p，a(n+1)=p，a(n)或a(n+2)等于2p。整除数列项的新素数以递增的顺序出现。
证明：设a(n)是被p整除的第一项，数pq（其中q是整除a(n-1)的素数）都是a(n)的候选者，因此a(n)=pq，其中q是最小的此类素数。而且p必须是不作为{a(1)，…，a(n−1)}的因子出现的最小素数（如果p’是更小的这样的素数，则p′q将是a(n)的更好候选者）。特别是整除数列项的素数必须以递增的顺序出现，并且q<p。那么p是a(n+1)的候选数，并且小于B_q(n+1)≥B_q(n)=pq，所以a(n+1)=p。最后，a(n)=2p，否则2p是a(n+2)的获胜候选者。
引理2：出现在序列中的素数以递增的顺序出现。（2）
证明：这是根据引理1得出的，因为第一次p整除序列的项，下一项就是p本身。
引理3：如果素数p的无穷多个倍数出现在序列中，那么p的所有倍数出现在序列中。
证明：用反证法，记kp是p的第一个被遗漏的倍数。选择n0，使得对于所有n≥n0，a(n)>kp。由于p的倍数有无穷多个，因此存在n>n0，对于某个l，a(n)=lp。但现在我们必须有a(n+1)=kp，因为gcd{a(n)，kp}≥p被允许，并且所有可能出现在序列中的较小值都已经出现，矛盾。
引理4：如果素数p的所有倍数都出现在序列中，那么所有正整数都会出现。
证明：再次用反证法，并使k≥2是第一个遗漏的整数。由于k的无穷多个倍数出现在p的所有倍数中，我们得到一个矛盾，正如引理3。也就是说，对于n>n0，对于某个l存在a(n)=klp，并且gcd{a(n)，k}≥k被允许，并且已经使用了所有较小的可能值。因此，a(n+1)＝k，这是一个矛盾。
定理1：{a(n)：n≥0}是自然数的排列。
证明：通过定义，没有一个数字可以出现两次，所以只要证明每个数字都出现就足够了。假设只有有限多个不同的素数整除序列的项。然后其中的一个将出现无限多次，引理3和4意味着所有整数出现，这是一个矛盾。
因此，无穷多个不同的素数p整除序列的项。由引理1无限多个偶数2p出现，由引理3所有偶数出现，由引理4所有正整数出现。

猜想的近似公式：a(n) = n (1+ 1/(3 log n)) + o(n/log n)（Lagarias-Rains-Sloane, 2002)，准确说明见arxiv链接
C程序：https://oeis.org/A064413/a064413.c.txt（E. M. Rains）

好久没发贴了
2.A347025 https://oeis.org/A347025
这个数列应该是作者自己发现的，后来发现有研究此数列的论文 https://arxiv.org/abs/1511.00170 (Andy Loo)
这篇论文主要结果是得出a(n)的范围:
a(n) >= binomial(n, ceiling(n/2)),
a(n) >= max_{h=1..n-1} a(h) + a(n-h) + 1,
a(n) <= min_{h=1..n-1} a(h) + 2^h*a(n-h)，
但多处没有精确得出a(n)的值，OEIS上的人用枚举和逻辑推导额外确定了a(5)与a(6)的值，得出更精确的范围。
其实A347025被批准前争议很大，因为现有的项不足以将其与其他数列区分。最终确实证明了不是其他任意一个数列，即使无法证明，大概率也会被批准，因为确实是一个有价值的数学问题，将来遇到相似（数值或定义都可以）的数列还可以参考
前几项和范围：（计算显示原来的上界过松，意义不大）
a(0)=0, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44/45, >=79, >=144, >=270

定义：a(n)是最大的正整数s，使得存在s个互不相同的n元集的非空子集，其中任何一个都不是另外两个的并集
例如a(3)=4, 构造 {1}, {2}, {1,3}, {2,3}都是{1,2,3}的子集。
其实这里的构造都具有相当的对称性：
a(4)=7, {{1},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}}，即{1}和所有二元子集；
a(5)=13, 1 12 13 14 23 24 34 125 135 145 235 245 345，即1，所有不含5的二元子集，所有含5的三元子集；
a(6)=24, 12 13 23 45 46 56，以及除123 456的所有三元子集；
a(7)>=44, 在a(6)的基础上增加所有含7的三元子集 (Jon E. Schoenfield)
Jon也给出了a(6)<=26的证明：