有界是指一个函数在某个区间上的上界和下界都大于等于零，且上界和下界不必须相等。换句话说，如果一个函数在某个区间内有上界和下界，那么它一定是有界的。
这个结论可以通过对函数取极限得到。如果函数的自变量趋近于某个值，那么函数的值也会趋近于这个值。当函数的值趋近于零时，它上界的值也会趋近于零，而下界的值也会趋近于零。因此，函数在某个区间内有上界和下界，说明它在这个区间内是有界的。
需要注意的是，一个函数在某个区间内有上界和下界并不意味着它在这个区间内是无限大的，也不意味着它的值在无限增大的过程中永远不会趋近于零。相反，这个函数可能是有限大的，也可能是有限小的，具体取决于函数的构造和定义域。
摘自:http://tieba.baidu.com/p/6096210910

有界是指必须有上界和下界，即存在一个上界和一个下界，使得该数列是有界的。数列是一个类似于射线的线，有一端代表上界或下界，只要知道另一个界就能证明有界了。这是数列的单调有界准则所证明的。
摘自:http://tieba.baidu.com/p/8038446711

有界性的定义是，存在两个常数m和M，使得对于任意的x属于E,m≤f(x)≤M。这里的m和M分别被称为f(x)的下界和上界。如果一个数列或者函数在给定的范围内有上下界，那么它就被称为有界数列或有界函数。
因此，有界不仅是指函数值在给定的范围内有界，而且是指上下都有界。如果一个函数在给定的范围内有上界和下界，那么它被称为有界函数。同样地，如果一个数列在给定的范围内有上界和下界，那么它被称为有界数列。
摘自:http://tieba.baidu.com/p/8599333807

单调有界数列必有极限定理中的“有界”是指不仅有上界并有下界。该定理的意思是：对于任何单调递增或单调递减的数列，其下界(或上界)必存在，且该数列的极限必存在。
有些题目只要求证数列有下界，而不需要证明有上界，这可能会导致在证明过程中缺少关键部分。因此，在证明单调有界数列必有极限时，需要明确该数列是否有上界或下界，以确保证明的正确性。
总结上述内容，单调有界数列必有极限定理中的“有界”是指不仅有上界并有下界，以确保该定理的正确性。
摘自:http://tieba.baidu.com/p/4817103008

有界是指在某个区间内，存在一个大小为正或负的值，这个值被称为这个区间的上界或下界。因此，有界并不一定意味着上下都有界，它强调的是区间内有一个上界或下界。
例如，题目中的例一就是一个有界的函数，因为它在区间[0,1]上有一个下界[1/2]，同时也在这个区间内有一个上界[1]，即函数值大于等于[1]。
在讨论极限时，我们通常指的是函数在某一点处的极限，而不是整个区间的极限。因此，如果一个函数在某个点处的极限存在，那么这个函数在这个点处就是有界的。
综上所述，有界是指在某个区间内存在一个上界或下界，而不是上下都有界。
摘自:http://tieba.baidu.com/p/3658885402

有界是指函数在某个定义域内具有上下都有界的性质。具体来说，有界意味着函数在其定义域内有两个边界值，即函数的最小值和最大值，它们分别位于定义域的两侧。
例如，函数sinx在其定义域内有两个边界值：sinx的最小值在x=0处取得，最大值在x=2π处取得。同时，sinx在其定义域内也具有上下都有界的性质。
需要注意的是，有界不一定意味着函数是单调递增或单调递减的。例如，函数g(x)=x^2在x=0处取得最大值，但在x=1处取得最小值，因此g(x)不具有单调递增的性质。
总之，有界是指函数在其定义域内具有上下都有界的性质，它是描述函数性质的一个重要概念。
摘自:http://tieba.baidu.com/p/3485029522