整数里的【a+b=c】类型数组发掘
几天来的学习思考中，接触了小²+中²=大²类型的数组。
小²+中²=大²【a×a+b×b=c×c】
勾3²+股4²=弦5²。
自然整数里，还有哪些同类组合，怎么找？有什么简便方法。
昨天夜里想：既然3，4，5三个数各乘以11，以及11的倍数后的数组，仍然保持a×a+b×b=c×c数组形式，
那么a×a+b×b=c×c中的a，b，c 即小，中，大三数的任意相同倍值，仍然保持a×a+b×b=c×c数组形式。
a×a+b×b=c×c【a,b,c三数的属性：奇数，偶数，奇数】
3×1，4×1，5×1【3×3+4×4=5×5】9+16=25
3×2，4×2，5×2【6×6+8×8=10×10】36+64=100【公约数3，4，5】
3×3，4×3，5×3【9×9+12×12=15×15】81+144=225
3×4，4×4，5×4【12×12+16×16=20×20】144+256=400【公约数3，4，5】
3×5，4×5，5×5【15×15+20×20=25×25】225+400=625
，，，，，，，，，
【根据数首法则】，可以确定这种关系。
在前面遇到题目中，有一个是：15²+[ ]²=113²
老师的分析中，有15²=225，[225-1]÷2=[112 ]，[225+1]÷2=[113 ]
15²+112²=113²
225+12544=12769
从这个题目中，我又看出【15²+112²=113²】与【3²+4²=5²】的关系。
【15²+112²=113²】就是从【3²+4²=5²】发展过来的。
可以看出【3²+4²=5²】与【15²+112²=113²】二者间有相同之处
4与5，112与113，4+1=5，5-1=4。112+1=113，113-1=112
大于1的奇数，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，，，，，，，，，，，，，
以及其平方值也都能分解成大小差1的两个数。
就有了：
【3²+4²=5²】【3²=9，9=4+5】
【5²+12²=13²】【5²=25，25=12+13】
【7²+24²=25²】【7²=49，49=24+25】
【9²+40²=41²】【9²=81，81=40+41】
【11²+60²=61²】【11²=121，121=60+61】
【13²+84²=85²】【13²=169，169=84+85】
，，，，，，，，，，，，，，，，，
因为，相邻两个自然数的平方差，是前数×2+1.
84²与85²的差，7225-7056=169=13²。84×2+1=169=13²
在自然数列里，寻找【a²+b²=c²】性质类型的三数组的方法就有了。
以大于1的奇数²值-1后除2=中间的偶数；
以大于1的奇数²值+1后除2=后面的奇数，即前奇数+中偶数的和。【这是纵深纵向寻找法】
【a²值+b²值=²值】数组中三值乘以相同的倍数。【这是横向寻找法】
3×3+4×4=5×5【初始关系式】
9+16=25【值检验式】
进行倍值检验
【5²+12²=13²】
5×2，12×2，13×2
10²+24²=26²
100+576=675
5×3，12×3，13×3
15²+36²=39²
225+1296=1521
5×4，12×4，13×4
20²+48²=52²
400+2304=2704
5×5，12×5， 13×5
25²+60²=65²
625+3600=4225
，，，，，，，，
7×7+24×24=25×25
49+576=625
7×2+24×2=25×2
14²+48²=50²
196+2304=2500
7×3+24×3=25×3
21²+72²=75²
441+5184=5625
7×4+24×4=25×4
28²+96²=100²
784+9216=10000
，，，，，，，
纵横交织的经纬网，把整数数列中符合a×a+b×b=c×c等式的三值数组，就揭示出来了。
纵向顺3，5，7，9，11，13，15，，，，，，，依次发展
横向朝2，3，4，5，6，7，8，9，10，，，，，同倍发展
数与数之间的关系，是有规律的。

【an】²+【[a²÷2 - 0.5]n】²=【[a²÷2+0.5]n】²
a=大于2的奇数，如3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，，，，，
n=任意整数，如1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，，，，，，，∞
整数中的a²+b²=c²关系三数组合，用上面公式，就可以求出。

一个数与它的2次幂值，3次幂值的关系式
a³-a²=a²×[a-1]
a³-a²×[a-1]=a²
a²-a=a×[a-1]
a²-a×[a-1]=a
a³-a=a²×[a-1]+a×[a-1]
a³-【a²×[a-1]+a×[a-1]】=a

离上班还早。就写公式玩。
多个数之和与多个数的2次幂值之和的关系
a²+b²+c²=[a+b+c]+a[a-1]+b[b-1]+c[c-1]
a²+b²+c²+d²=[a+b+c+d]+a[a-1]+b[b-1]+c[c-1]+d[d-1]
,,,,,,,,,,,,,,依次增加系数
两数3次幂值之和与两数和的关系
a³+b³：a+b
a³+b³=【a²×[a-1]+b²×[b-1]】+a[a-1]+b[b-1]+[a+b]
a=3，b=7
a³+b³=【a²×[a-1]+b²×[b-1]】+a[a-1]+b[b-1]+[a+b]
3³+7³=【3²×[3-1]+7²×[7-1]】+3[3-1]+7[7-1]+[a+b]
27+343=[9×2+49×6]+3×2+7×6+[3+7]
370=[18+294]+6+42+10
370=312+48+10=370
开始没想到，还要加【a+b】，结果370=312+48=360。不对呀，仔细分析，原来还要+[a+b]。
因为是求：a³+b³：a+b。所以因式中一定要有[a+b]这项目。
这是起床后，想出的两个数字游戏步骤。

几天前我发现的四数关系。下班进家门的那刻，突然想到应该按8，12分列。
1×1+8×8=4×4+7×7
1×1+18×18=10×10+15×15
1×1+28×28=16×16+23×23
1×1+38×38=22×22+31×31
1×1+48×48=28×28+39×39
1×1+58×58=34×34+47×47
1×1+68×68=40×40+55×55
1×1+78×78=46×46+63×63
1×1+88×88=52×52+71×71
1×1+98×98=58×58+79×79
1×1+108×108=64×64+87×87
1×1+118×118=70×70+95×95
1×1+128×128=76×76+103×103
1×1+138×138=82×82+111×111
1×1+148×148=88×88+119×119
1×1+158×158=94×94+127×127
1×1+168×168=100×100+135×135【可以看出进阶分别为10，6、8】
1×1+178×178=106×106+143×143
【168升178，100升106，135升143，可以一直往大数∞方向追寻，无底洞。】
，，，，，，，，
1×1+12×12=8×8+9×9
1×1+22×22=14×14+17×17
1×1+32×32=20×20+25×25
1×1+42×42=26×26+33×33
1×1+52×52=32×32+41×41
1×1+62×62=38×38+49×49
1×1+72×72=44×44+57×57
1×1+82×82=50×50+65×65
1×1+92×92=56×56+73×73
1×1+102×102=62×62+81×81
1×1+112×112=68×68+89×89
1×1+122×122=74×74+97×97
1×1+132×132=80×80+105×105
1×1+142×142=86×86+113×113
1×1+152×152=92×92+121×121
1×1+162×162=98×98+129×129【分列后，这组进阶也是：10、6、8。问题又简单了一步】
，，，，，，，，，，，
【神奇的数字关系，好像不可思议，却是规律所在】

发现非常有趣的现象。一个奇妙的景观，展现出数字关系的神奇。把各组数字罗列后，相邻两个数字的【n³+n²】之差，就在数字的排列组合中展现了。
n³+n²=n×n×[n+1]
n×n×[n+1] 当n=1时
1×1×2，1³+1²=2
n×n×[n+1] 当n=2时
2×2×3，2³+2²=12
1×1×2=2
2×2×3=12
12-2=10
10这个差额，竟然就隐藏在
1×1×2
2×2×3 这两个因式里。
我发现：
1×1×2
2×2×3 式子中，先把上下对齐的三组两数相乘。然后将三个积相加。就是两式的差。
1×2+1×2+2×3
=2+2+6
=10
2×2×3=12
3×3×4=36【36-12=24】
2×3+2×3+3×4
=6+6+12
=24
3×3×4=36
4×4×5=80【80-36=44】
3×4+3×4+4×5
=12+12+20
=44
4×4×5=80
5×5×6=150【150-80=70】
4×5+4×5+5×6
=20+20+30
=70
5×5×6=150
6×6×7=252【252-150=102】
5×6+5×6+6×7
=30+30+42
=102
6×6×7=252
7×7×8=392【392-252=140】
6×7+6×7+7×8
=42+42+56
140
7×7×8=392
8×8×9=576【576-392=184】
7×8+7×8+8×9
56+56+72
184
8×8×9=576
9×9×10=810【810-576=234】
8×9+8×9+9×10
=72+72+90
=234
9×9×10=810
10×10×11=1100【1100-810=290】
9×10+9×10+10×11
=90+90+110
=290
，，，，，，，，，

我今天又写了一个求差公式
整数数列中，任意一组相邻两数的3次幂值+2次幂值之和的数差求差公式：
【[n+1]³+[n+1]³】－【n³+n³】=
【[n+1]×[n+1]×[n+1+1]】－【n×n×[n+1]】=
[n+1]×n + [n+1]×n +[n+1+1]×[n+1]
求差公式
【[n+1]³+[n+1]²】－【n³+n²】 = 2[n+1]×n + [n+1+1]×[n+1]
验算【1】
n=1，[n+1]=2
【[1+1]³+[1+1]²】－【1³+1²】 = 2[1+1]×1 + [1+1+1]×[1+1]
【8+4】－【1+1】 = 4 + 3×2
10=10
验算【2】
n=2，[n+1]=3
【[n+1]³+[n+1]²】－【n³+n²】 = 2[n+1]×n + [n+1+1]×[n+1]
【[2+1]³+[2+1]²】－【2³+2²】 = 2[2+1]×2 + [2+1+1]×[2+1]
【3³+3²】－【2³+2²】 = 2×3×2 + 4×3
36－12=12+12
24=24
验算【3】
n=3，[n+1]=4
【[n+1]³+[n+1]²】－【n³+n²】 = 2[n+1]×n + [n+1+1]×[n+1]
【4³+4²】－【3³+3²】 = 2[3+1]×3 + [3+1+1]×[3+1]
80－36 = 24 + 20
44=44
验算【4】
n=4，[n+1]=5
【[n+1]³+[n+1]²】－【n³+n²】 = 2[n+1]×n + [n+1+1]×[n+1]
【[4+1]³+[4+1]²】－【4³+4²】 = 2[4+1]×4 + [4+1+1]×[4+1]
【5³+5²】－【4³+4²】 = 2×5×4 + 6×5
150－80 = 40 + 30
70=70
验算【5】
n=5，[n+1]=6
【[n+1]³+[n+1]²】－【n³+n²】 = 2[n+1]×n + [n+1+1]×[n+1]
【[5+1]³+[5+1]²】－【5³+5²】 = 2[5+1]×5 + [5+1+1]×[5+1]
【6³+6²】－【5³+5²】 = 2×6×5 + 7×6
【6³+6²】－【5³+5²】 = 2×6×5 + 7×6
252-150=60+42
102=102
验算【6】
n=6，[n+1]=7
【[n+1]³+[n+1]²】－【n³+n²】 = 2[n+1]×n + [n+1+1]×[n+1]
【[6+1]³+[6+1]²】－【6³+6²】 = 2[6+1]×6 + [6+1+1]×[6+1]
【7³+7²】－【6³+6²】 = 2×7×6 + 8×7
392-252=84+56
140=140
验算【7】
n=7，[n+1]=8
【[n+1]³+[n+1]²】－【n³+7²】 = 2[n+1]×n + [n+1+1]×[n+1]
【[7+1]³+[7+1]²】－【7³+7²】 = 2[7+1]×7 + [7+1+1]×[7+1]
【512+64】－【343+49】 = 112 + 72
184=184
，，，，，，根据我总结出来的【数首法则】，无须再多验算，整数数列中，任意一组相邻两数的3次幂值+2次幂值之和的数差求差公式：
【[n+1]³+[n+1]²】－【n³+n²】 = 2[n+1]×n + [n+1+1]×[n+1]
成立。
我已经不知道自己一共写了几个公式。

前面【【[n+1]³+[n+1]³】－【n³+n³】=】有错。
以以下为准
整数数列中，任意一组相邻两数的3次幂值+2次幂值之和的数差求差公式：
【[n+1]³+[n+1]²】－【n³+n²】=
【[n+1]×[n+1]×[n+1+1]】－【n×n×[n+1]】=
[n+1]×n + [n+1]×n +[n+1+1]×[n+1]
求差公式
【[n+1]³+[n+1]²】－【n³+n²】 = 2[n+1]×n + [n+1+1]×[n+1]
验算【1】
n=1，[n+1]=2
【[1+1]³+[1+1]²】－【1³+1²】 = 2[1+1]×1 + [1+1+1]×[1+1]
【8+4】－【1+1】 = 4 + 3×2
10=10
验算【2】
n=2，[n+1]=3
【[n+1]³+[n+1]²】－【n³+n²】 = 2[n+1]×n + [n+1+1]×[n+1]
【[2+1]³+[2+1]²】－【2³+2²】 = 2[2+1]×2 + [2+1+1]×[2+1]
【3³+3²】－【2³+2²】 = 2×3×2 + 4×3
36－12=12+12
24=24
验算【3】
n=3，[n+1]=4
【[n+1]³+[n+1]²】－【n³+n²】 = 2[n+1]×n + [n+1+1]×[n+1]
【4³+4²】－【3³+3²】 = 2[3+1]×3 + [3+1+1]×[3+1]
80－36 = 24 + 20
44=44
验算【4】
n=4，[n+1]=5
【[n+1]³+[n+1]²】－【n³+n²】 = 2[n+1]×n + [n+1+1]×[n+1]
【[4+1]³+[4+1]²】－【4³+4²】 = 2[4+1]×4 + [4+1+1]×[4+1]
【5³+5²】－【4³+4²】 = 2×5×4 + 6×5
150－80 = 40 + 30
70=70
验算【5】
n=5，[n+1]=6
【[n+1]³+[n+1]²】－【n³+n²】 = 2[n+1]×n + [n+1+1]×[n+1]
【[5+1]³+[5+1]²】－【5³+5²】 = 2[5+1]×5 + [5+1+1]×[5+1]
【6³+6²】－【5³+5²】 = 2×6×5 + 7×6
【6³+6²】－【5³+5²】 = 2×6×5 + 7×6
252-150=60+42
102=102
验算【6】
n=6，[n+1]=7
【[n+1]³+[n+1]²】－【n³+n²】 = 2[n+1]×n + [n+1+1]×[n+1]
【[6+1]³+[6+1]²】－【6³+6²】 = 2[6+1]×6 + [6+1+1]×[6+1]
【7³+7²】－【6³+6²】 = 2×7×6 + 8×7
392-252=84+56
140=140
验算【7】
n=7，[n+1]=8
【[n+1]³+[n+1]²】－【n³+7²】 = 2[n+1]×n + [n+1+1]×[n+1]
【[7+1]³+[7+1]²】－【7³+7²】 = 2[7+1]×7 + [7+1+1]×[7+1]
【512+64】－【343+49】 = 112 + 72
184=184
，，，，，，根据我总结出来的【数首法则】，无须再多验算，整数数列中，任意一组相邻两数的3次幂值+2次幂值之和的数差求差公式：
【[n+1]³+[n+1]²】－【n³+n²】 = 2[n+1]×n + [n+1+1]×[n+1]
成立。

我又写了两个公式
n[n+1][2n+1]÷6【别人写的】
只适用自然数列从1至n的若干个数的段落，可以求出自然数段各数2次幂值，1²+2²+3²+，，，，，n²的和。
依据上面的模式，我用5分钟时间，写出：求2²+4²+6²+8²+，，，，，，，+n[偶数]²。偶数数段各数2次幂值之和的求和公式：
n[n+2][2n+2]÷12
2²+4²=20
n=4
n[n+2][2n+2]÷12
4[4+2][2×4+2]÷12
24×10÷12=
240÷12=
20
2²+4²+6²=56
n=6
n[n+2][2n+2]÷12
6[6+2][2×6+2]÷12
48×14÷12=
672÷12=
56
偶数=整数×2
2²+4²+6²+8²=120
n=8
n[n+2][2n+2]÷12
8[8+2][2×8+2]÷12
80×18÷12=
1440÷12=
120
n[n+1][2n+1]÷6 【求1开始的整数数段各数2次幂值之和】别人写的
n[n+2][2n+2]÷12【求2开始的偶数数段各数2次幂值之和】我写的
依据别人的：n[n+1][2n+1]÷6
我写出了偶数数段各数的2次幂值之和的求和公式：n[n+2][2n+2]÷12
之后就着手写奇数数段各数的2次幂值之和的求和公式。
开始写出的因式，符合1²+3²，放到1²+3²+5²就不行了。
符合1²+3²+5²的，放到1²+3²又不行了。
没找到问题的关键，才会这样东不成西不就。
于是我想，奇数数列是去掉偶数的数列，那么反映在【奇数数段各数的2次幂值之和】上的关键，是要在整数数列的2次幂值和的基础上，减去偶数2次幂值。
于是在早上上班前，我在n[n+1][2n+1]÷6中的【六倍值】n[n+1][2n+1]基础上，增加一个减项：-[n-1]
n[n+1]【[2n+1]-[n-1]】÷6
代入验算时，1²+3²行，1²+3²+5²也行。应该是对了。
慌忙上班去，等偷懒时再继续验算。
在偷懒验算的过程中，又发现一个奇妙现象。
n[n+1]【[2n+1]-[n-1]】÷6
n=3时，
3×[3+1]×【[2×3+1]-[3-1]】÷6
3×4×【7-2】÷6
3×4×5÷6
60÷6=10
1²+3²=10
n=5时
1²+3²+5²=1+25=35
5×6×7÷6
210÷6=35
n=7时
1²+3²+5²+7²=35+49=84
7×8×9÷6
504÷6=84
奇妙之处：
3×4×5÷6
5×6×7÷6
7×8×9÷6
于是公式可以写成：n[n+1][n+2]÷6
因为[2n+1]-[n-1]=n+2
这样
在别人的n[n+1][2n+1]÷6 【求1开始的整数数段各数2次幂值之和】
的开导下，我写出了：
n[n+2][2n+2]÷12【求2开始的偶数数段各数2次幂值之和】
n[n+1][n+2]÷6【求1开始的奇数数段各数2次幂值之和】
整数，n[n+1][2n+1]÷6【别人的】
偶数，n[n+2][2n+2]÷12【我的】
奇数，n[n+1][n+2]÷6【我的】
三种数段各数的2次幂值之和的求和公式就齐全了。

a+b，a²+b²，a³+b³，三者之间的关系，已经有了一种表达因式
m÷n+a×b=a²+b²
即：[a³+b³]÷[a+b]+a×b=a²+b²
还可怎么写。
于是晚饭后开始思考，写出：
[a³+b³] -【a²×[a-1]+b²×[b-1]】=a²+b²
验算：今天是农历8月初2。设a=8，b=2。
8²=64，8³=512，2²=4，2³=8，8³+2³=520，8²+2²=68
[a³+b³] -【a²×[a-1]+b²×[b-1]】=a²+b²
[8³+2³] -【8²×[8-1]+2²×[2-1]】=8²+2²
[512+8] -【64×7+4×1】=64+4
520-【448+4】=64+4
520-452=64+4
68=68
[a³+b³]÷2[a+b]-a×b=a+b
验算，同样设a=8，b=2。
[a³+b³]÷2[a+b]-a×b=a+b
[8³+2³]÷2[8+2]-8×2=8+2
[512+8]÷20-16=8+2
520÷20-16=8+2
26-16=8+2
10=10
[a³+b³]÷[a+b]+a×b-【a×[a-1]+b×[b-1]】=a+b
[8³+2³]÷[8+2]+8×2-【8×[8-1]+2×[2-1]】=8+2
520÷10+16-【56+2】=8+2
52+16-58=8+2
68-58=8+2
10=10
[a³+b³] -【a²×[a-1]+b²×[b-1]】-【a×[a-1]+b×[b-1]】=a+b
[8³+2³] -【8²×[8-1]+2²×[2-1]】-【8×[8-1]+2×[2-1]】=8+2
[512+8] -【64×7+4×1】-【56+2】=8+2
520-452-58=8+2
10=10
【[a²+b²]-a×b】×[a+b]=a³+b³
【[8²+2²]-8×2】×[8+2]=8³+2³
【[64+4]-16】×[8+2]=8³+2³
【68-16】×[8+2]=8³+2³
52×10=512+8
520=520
[a+b]×【[a²+b²]-a×b】=a³+b³
[8+2]×【[8²+2²]-8×2】=8³+2³
[8+2]×【[64+4]-16】=8³+2³
10×52=512+8
520=520
a+b，a²+b²，a³+b³，之间的三者关系：
[a³+b³]÷2[a+b]-a×b=a+b
[a³+b³]÷[a+b]+a×b-【a×[a-1]+b×[b-1]】=a+b
[a³+b³] -【a²×[a-1]+b²×[b-1]】-【a×[a-1]+b×[b-1]】=a+b
[a³+b³]÷[a+b]+a×b=a²+b²
[a³+b³] -【a²×[a-1]+b²×[b-1]】=a²+b²
【[a²+b²]-a×b】×[a+b]=a³+b³
[a+b]×【[a²+b²]-a×b】=a³+b³

2022年10月12日我写出了一个公式：
a>b
a³-b³=
a[a²-b]+b[a-b²]
以a=17，b=9，代入验算
a[a²-b]+b[a-b²]
17×[17²-9]+9×[17-9²]
17×[289-9]+9×[17-81]
17×280+9×[-64]
4760+[-576]
4760-576
4184