我的理解是几个游戏机厂商出的游戏机配套的包装上都是有コントローラー这个词。别的游戏手柄有的叫做gamepad

现在的游戏主机手柄一般是コントローラ
ゲームパッド一般指摇杆类的吧

gamepad和game controller？感觉两种说法都有吧

「ゲームコントローラー」是所有操作游戏的外设，除了手柄还有键盘鼠标，赛车专用、音乐游戏专用（比如太鼓达人用的鼓啥的）的控制器。
「ゲームパッド」才是一般意义上的主机手柄，是「ゲームコントローラー」的一种。很多电商网站的分类表也是这种关系。