2022年中国国家集训队

第一次测试题
P1、圆内接凸六边形ABCDEF,AB与DC交于G，AF与DE交于H，M、N为△BCG、△EFH的外心，证明BE、CF、MN三线共点
P2、p为素数，A为无穷整数集，证明存在A的2p-2元子集B，B中任意p个元素的算术平均数不在A中。
P3、a、b、c、p、q、r是正整数，p、q、r≥2，Q={(x，y，z)∈Z^3丨0≤x≤a，0≤y≤b，0≤z≤c}在Q中放上M枚棋子（一个点上可以放上多枚棋子）并可执行下面三类操作
(1)在(x，y，z）上拿掉p枚棋子，在(x-1，y，z)上放一枚棋子
(2在(x，y，z）上拿掉q枚棋子，在(x，y-1，z)上放一枚棋子
(3)在(x，y，z）上拿掉r枚棋子，在(x，y，z-1)上放一枚棋子
求最小的M，使得无论如何放棋子，总可以适当操作，使得最后(0,0,0)有一枚棋子
P4、锐角三角形ABC内接于圆O，∠ACB＞2∠ABC，△ABC的内心为I，I关于BC对称点为K，BA延长线与KC延长线交于D，过B作与CI平行的直线交圆O中劣弧BC于E(E≠B)，过A作与BC平行的直线与直线BE交于F。证明：若BF=CE，则FK=AD
P5、C为单位圆，z_1、z_2……z_240为单位圆上的240个复数(可以相同)。满足如下两个条件
(1)对任意长为π的开弧Γ，至多有200个z_i(1≤i≤240)在Γ上
(2)对任意长为π/3的开弧γ，至多有120个z_i(1≤i≤240)在γ上
求丨z_1+z_2+……+z_240丨的最大值
P6、 A_1、A_2、……A_m为有限集A的m个子集（可以相同），对任意{1，2……m}的子集S，A_i(i∈S)的并集元素个数≥丨S丨+1，证明：可以将A的元素适当染为黑白二色，使得每个A_i(1≤i≤m)既包含黑色元素，又包含白色元素。