如果强行规定协和坐标条件，不知道坐标怎么取，那不就不知道T在该坐标下的具体形式了吗？

能动张量的具体形式是不能事先知道的吧？爱因斯坦方程左右两边都涉及到度规对指标的升降，因此都是待求的未知量。比方说松散介质的能动张量是用四速来定义的，而四速是逆变的矢量，因此定义出来的能动张量也是逆变的，而场方程的右边是协变的能动张量，因此就需要先用度规降指标，而度规是未知的。所以说除了真空T=0或者T全为常数的特殊情况，大多数时候T是难以事先确定，因此也没法根据T的具体形式来给坐标加条件。所以如书上所说，由于广义相对论存在规范自由性，可以给坐标加四个限制方程作为坐标条件。

@不会笑的名侦探 你不知道右边的协变式可以把左边升到逆变就好了，还是可以确定等式一边的。

哪个方块代表什么?是盗版的吧，数学符号都印不出来

你会

最近有点忙，选修课只能放一放，现在终于有点空闲时间，让我们重新理一下思路，关键困扰我的点是6个爱因斯坦场方程足不足以求解10个度规分量的问题，以下放弃协和坐标改用更加直观的球坐标来讨论这一点。
首先是球对称性对，以及静态对度规场的化简，先选择~t使L=0，此时剩余3个未知函数，

以及2个方程。

（此处未假设是真空，等式右边非0）
接下来对r做变换使L=（~r）^2（如图1），减少了一个度规的未知函数，但是也因此丢失了对T(r,g(r))的信息，于是T成为了新的未知函数，仍然为2个方程3个未知数。
当环境为真空时，T=0变换后仍为0，故没有增加未知数，方程已经足够可解。而当环境非真空时，方程数量仍然不够，故需联合物质方面的方程，也就是能动量守恒一起求解，3个方程3个未知数，也已经可解。


回过头在看一边计算过程，实际上变换坐标并非必要，一开始就可以对T(r,g(r))使用能动量守恒得到缺少的那4个方程（球对称下为1个），而能动量守恒正好和比安基恒等式是等价的。故综上所述，比安基恒等式虽然减少了4个度规G的方程，但是同样也增加了4个T自己需要满足的方程，起到了一个转移约束数量的效果，并没有妨碍求解。
而对于T=0的时空，任意坐标T均为0。能动量守恒成为恒等式而非约束，但同时可以随意做坐标变换减少未知函数（如上面的~r），或者加入其他约束条件（如协和坐标条件）。此处感觉还是略有一点不协调的感觉，可能和观测量理论相关，真空也就没有物质来标记时空点，且g非直接观测量，之后再来补充这部分。

楼上爆了的两张图

再回到最初看看一开始的疑问，T不等于0的时候“只有六个独立”就尼玛扯淡。右边不等于0，怎么就不独立了？明明就是10个独立方程对10个未知函数来骗来偷袭，欺负我一个从不听课的本科生
心态崩了呀看群论去了

1、Einstein场方程在有源的情况下应该有10个独立的函数确定
这个想法是错误的，或者说在广义相对论允许的框架里是错误的。这里最重要的原因就在于Bianchi Identity所导出的Einstein张量应该是一个无散场，这里会引入4个新的约束方程。而在广义相对论里，Bianchi Identity是由黎曼几何的基本条件所约束的，其意味在GR下任意的能动张量T_{\mu\nu}也应该满足无散的条件，也即GR要求局部满足能动量守恒的条件，这是广义相对论作为一个经典场论所应有的自洽条件。当然，我们能不能探讨T_{\mu\nu}并不满足局部能动量守恒的物理呢？当然可以，但是这也已经超出了广义相对论的范围。
为什么我们这么说？如果我们有一个T_{\mu\nu}，使得\nabla^{\mu}T_{\mu\nu}不为0，如果爱因斯坦场方程仍然成立，这就意味着\nabla^{\mu}G_{\mu\nu}不为0，而其不为0正是直接违背Bianchi Identity的表现。而只要自己推一下其实就能明白，只要你的G_{\mu\nu}是正常的伪黎曼几何下定义出来的，其一定为0。这就意味着，即便给定的方程形式一致，但你这里的“Einstein张量”已经是另一个非GR引力下的张量了。
这也是GR初学者一个很容易出现的错误。广义相对论的内容并不是由Einstein场方程一个方程就已经说完了，他的几何定义也是理论中不可缺少的一环。在GR下，局部能动量守恒并不是需要额外手加的物理要求，而是由GR的几何本质预言的行为。
2、“坐标不应该根据Tμυ，也就是物质的分布确定吗？”
这个想法也是有问题的。如果你对这一点有疑问，我想或许你需要重新回顾一下广义相对论的完整的内容。广义相对论最重要的一点就在于其满足广义协变性，换句话说，我在任意一个坐标系来讨论广义相对论，其都有完全一致的形式。这一点表明了，广义相对论的坐标选取在绝大部分情况下都只是一个辅助计算的工具。给定其中一种坐标下的解，那么按照张量之间变换的规则，我就可以知道任意参考系下的其他解的行为。
当然，我想你会由此疑问，应该是之前的授课内容里提到的关于FLRW宇宙学度规与施瓦西度规，或者是讨论球对称塌缩的Oppenheimer solution里的影响。但是我们要强调，这些解里我们取这样或那样的坐标，最主要的还是因为这样计算是方便的，因为这些解的对称性都是很高的。由于存在时空上的对称性，也即Killing矢量的存在，我们可以证明，如果以Killing矢量场作为坐标系的一个坐标基底，那么由Killing方程可以对这一坐标系下的度规对坐标的依赖行为做出很强的限制。这也是为了求解方便所做的调整。但是这并不意味着我们不能在其他坐标系下讨论Einstein场方程的求解。比如同样是平直时空，除了惯性观测者看到的Minkovski时空，还有加速观测者看到的Rindler时空，但这两个时空本质上仍是等价的，因为他们二者之间存在清晰的坐标变换。

3、为什么要用谐和坐标条件？
这是一个很好的问题。的确，谐和坐标条件所引入的只是一个固定取某种坐标的条件，而这一形式下的解可以给你引力波在弱场下的标准波动方程解。
但我想这里你的问题应该换句话讲，你的问题其实应该是，是否在任意的时空下，我总能找到这样的协和坐标，使得讨论引力波的方程的解的形式具有普遍性？这才是一个关键的问题。因为的确，在不知道背景物质分布与几何分布的完整的信息前，给定一个尚未确定背景度规的g_{\mu\nu}，讨论其上的调和方程\nabla^{\mu}\nabla_{\mu}x^{\nu}=0的整体解的存在性，似乎是不可能的。事实上也的确如此，我们并不能希望在任意时空下，都能找到铺满整个时空的协和坐标，这是一个很复杂的几何分析问题。
但是，谐和坐标至少总是局域存在的。我们知道在任意局部的Riemann Normal Coordinate下，任意的局部度规总是一个Minkovski度规，而Minkovski上谐和坐标总是存在的，其上的笛卡尔坐标显然为其协和坐标。所以至少给定谐和坐标下的讨论可以分析局部的引力波的传播行为。而这个也正是讨论广义相对论初值形式，以及证明其初值形式求解唯一性中很重要的一环。

最后关于协和坐标的存在性，这里再强调一点。如果说协和坐标的存在总是局域的，那么是不是可以怀疑，引力波的传播只是局部看来满足波动方程的样子，而不具备整体上的波动方程的要求呢？这一点其实已经被从事数学相对论的数学家们很好的解决了。当然这里有一些附加的时空拓扑和因果条件的限定，比如要求时空是整体双曲的等等，但是这些条件本身是相当宽松的。而在这些条件下，可以发现弯曲背景上的场论具有良好的初值行为，也即其可以提well-defined的Cauchy问题。而局部的广义相对论的解的唯一存在性也可以通过将不同的坐标片拼接起来，依靠坐标片重叠部分的坐标变换，找到不同协和坐标之间解互相拼接的关系，从而将一个时空切片上给定初值的局部解拓展到整个时空上。要注意这里讨论的还不止是线性引力论，也即引力波的问题，其包括完整的非线性的广义相对论。关于这一部分，可以参考Wald的General Relativity关于初值问题的章节，也可以参考像Igor Rodnianski这样的PDE大家写的关于广义相对论初值形式的Review。

@贴吧用户_5bStVEt 关于第二点第三点。坐标由物质确定，物质可以用任意编号标记，对应任意坐标系，我觉得这样理解没什么问题。当时疑惑的是书上说法的问题--需要对坐标（标记）加上4个额外限制条件才能求解方程，坐标与物质分布相关，那岂不是给定物质分布之后又限制物质分布？
现在再回看一下1楼图片。
1.由于比安基恒等式，场方程只有6个独立。需要4个额外的限制x
有源部分等式左边6个独立右边10个独立，依旧是10个方程。不需要额外限制（谐和坐标）。
2.做任意变换后也是解。x
做任意变换后如果T跟着变，那就是同一个解不算不同解，如果T不变那就是另一个方程了。
以上矛盾当求解范围T=0得到统一。T=0时能动量守恒恒成立，所以是6个独立方程。做任意变换后T依旧等于0，是一个满足原方程的新的解。真空，也就无从用物质标记坐标，所以坐标可以独立于物质完全任意选取，从而添加额外限制条件。
综上，我现在的看法就是书上这段论述似乎漏了提真空这个大前提。非真空，坐标应当与T有所关联，谈谐和坐标显得完全没有意义。不知道我的理解是否正确？

非真空T部分也没得10个独立方程，我算过好几种场源，都会出现某些分量投影之间是线性相关的。

@贴吧用户_5bStVEt @不会笑的名侦探
两位解释的很到位，我再定性简单给楼主补充下：
1. 广义相对论为什么叫广义，因为广义协变要求，也就是一切定律方程用张量方程描述。既然楼主知道场方程是张量方程，那么坐标选取就是任意的。比如代表施瓦西时空的静止观测的施瓦西度规，和自由降落的勒梅特度规，都是等价的。只是安装在同一个弯曲时空的不同数学标架
2. 至于你谈坐标系时又谈到说装在物质上，这个概念不叫坐标系，叫参考系，参考系是物理的，即一群类时观测者集合，坐标系只是数学标架，不是所以坐标系都能找到或者很容易找到明确物理意义，比如勒梅特系代表自由将落观者，而其他就不一定了
3.所以，给坐标加一些约束条件，很正常，否则同一能动张量解的范围可能太广，我们要按研究对象各取所需，比如对称，协和之类的条件
4. 霍大神说的，Tuv协变散度等于0，这显然是守恒律要求，不过说是几何的要求是什么意思？时空光滑连续内隐着守恒律吗？