实际上,就是求不定方程9x^3=(10^n-1)y,y是个位数的正整数解。
1、容易判断x=1,y=1,n=1;x=2,n=1,y=8
2、y=2、4、6,模8知:4/1、2/1,矛盾;
y=5,5/1,矛盾。
3、y=9,x^3=10^n-1,10^n=x^3+1=(x+1)(x^2-x+1),(x+1,x^2-x+1)=1、3,
由于10^n无因子3,因此(x+1,x^2-x+1)=1 x=1、2,显然不是解。当x>2
x+1<x^2-x+1,x+1=2^n,x^2-x+1=5^n,
即5^n=(2^n-1)^2-(2^n-1)+1=5^n>2^(2n),2^n-1>2^n,矛盾
4、y=3,3x^3=10^n-1,9/10^n-1,3/x,81/10^n-1,9/n,n=9a
3x^3=10^n-1=[10^(3a)]^3-1=[10^(3a)-1)[10^(3a)^2+10^(3a)+1]
显然 (10^(3a-1),10^(3a)^2+10^(3a)+1)=1、3 10^(3a)^2+10^(3a)+1)仅为3整除
10^(3a)-1=m^3,(10^a)^2+10^a+1=3n^3,注意3/m,10^(3a)-1=m^3无整数解
5、y=7,7/x,10^n-1根据费尔马小定理:6/n,n=6a,
9*49x^3=10^(6a)-1=[10^(3a)+1][10^(3a)-1]] (10^(3a)+1,10^(3a)-1)=1
10^(3a)-1)=9m^3,10^(3a)+1=49n^3
或10^(3a)-1)=9*49m^3,10^(3a)+1=n^3,该式无解
对于10^(3a)-1)=9m^3,9m^3=(10^a-1)[10^(2a)+10^a+1] 10^(2a)+10^a+1仅为3整除
10^a-1=3k^3,借故变成y=3,无解
y=1有解,y=8同样有解。只需考虑y=1!待续
因时间紧,没有仔细复核,请网友批评指正!