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注意到LNi是P的垂足圆与九点圆的连心线，所以而这两圆的根轴为P的Poncelet点p(P)和Q的Poncelet点的连线p(Q)的连线，于是LNi//PR当且仅当p(P)p(Q)与PR垂直，注意到PR和九点圆有两个交点，一个是p(P)，另一个是九点圆上关于中点三角形Simson线垂直于过ABCP的等轴双曲线在P处切线的点X（这里可参考我之前写的：https://mp.weixin.qq.com/s/AsLUyUAUesPOe1h0x9CEvQ 中的引理3），于是p(P)p(Q)与PR垂直当且仅当p(Q)与X是九点圆上的对径点，也就当且仅当p(Q)关于中点三角形的Steiner线与ABCP在P处切线平行，注意到若设ABC外心为O，则前者恰为PO（只需注意到p(P)在九点圆上的对径点是过ABCP的等轴双曲线与ABC外接圆的第四交点的补点），故其等价于PO是过ABCP的等轴双曲线在P处的切线，也就等价于PHQ共线.
