5000 圆锥曲线专题

前言
为什么要学习圆锥曲线？
看上去，那些圆锥曲线似乎与吧里这些人畜无害的平面几何题半毛钱关系都没有……欸？
……真的是这样吗？
诡(re)计(zhong)多(diao)端(yu)的出题人不一定这么认为。
某些平几题目，表面上和圆锥曲线毫无关联，但若发现其中蕴含的圆锥曲线，便能一点即破。也有些高深的题目，需要使用圆锥曲线将几何信息整合起来，从而迎刃而解。近来，纯几何吧里这种题目层出不穷，也许相似共圆这些经典手法就可以解决，但倘若站在圆锥曲线的观点上才能挖掘出背后的深刻背景。
所以，要到更高的观点上去，到更高的次数上去。
然而，现有的对圆锥曲线的知识较为琐碎零散，要么受制于平面直角坐标系（高考和联赛一试），要么内容较为基础；除却TelvCohl推荐的《Geometry of Conics》外加一些其它书籍，一些常用的结论散落在吧里的各个题号中，难以系统性地学习。
因此，本专题将重点放在“如何在看似没有圆锥曲线的题目中使用圆锥曲线”以及“这些结构下的圆锥曲线能带来什么性质”。而不是诸如“圆锥曲线就是二次曲线”、“圆锥曲线有保交比的性质”“二次曲线上帕斯卡定理成立”——这些很重要，没错，不过介绍这些基本性质的地方非常多，故本专题将会略过它们的证明。总之，本专题尽力地、有条理地整理了一些已知的、有关圆锥曲线的知识，从基础的到较艰深的都有所涉猎。然而，限于我的能力和篇幅，可能还有许多重要的性质尚未被发现，而某些实际运用较少的性质也将被忽略。
当然，必须指出，圆锥曲线不是万能的。圆锥曲线理论本身并非萌新内容，但学习圆锥曲线总是需要一个萌新的开始。欢迎任何喜欢圆锥曲线或想要提升的吧友阅读本专题。
感谢纯几何吧著名专题作者39532346djc，在他的提议下，2020年9月28日，我着手写下了本专题的第一笔。感谢支持我写作本专题的人们，也感谢热爱平面几何的大家。

知识储备
Q：我需要学过什么东西才能看懂？
A：高中课本上涉及的圆锥曲线的基本知识 和 高联二试几何的基本要求。
理论上是这样的，因为在第一部分中，本专题已经全面铺设了有关圆锥曲线的预备知识，但是——
强烈建议了解以下内容：
调和 （2000）
极点、极线 （2000）
交比 （1918的16楼）
等角共轭 （4684的第一节）
如果你是一位竞赛学生，且没有阅读过调和专题2000，又碰巧对调和方法 和（圆的）极点、极线一无所知，那我非常、非常诚挚地建议，应该从2000开始。
倘若你想要变得更强，这里有一些升级的推荐，可以配合或在阅读本专题后食用；如果你现在对这些名词几乎闻所未闻，那也没有关系，暂时忽略这些就是了：
对合 （3235）
三线性配极、cevapoint等（4684的前四部分）
配极 （4444）
费尔巴哈双曲线（2684）
Kiepert双曲线 （3684）
虽然射影变换、对合、配极等知识是处理圆锥曲线的强大的工具，但本专题不会将它们作为重点讲解，在性质的证明上也不会过度依赖这些方法。因此即使对其了解甚少（或者没有听说过）也不会对阅读造成较大的妨碍。
不过，专题中尽量在性质的证明里采用了丰富多样的方法，涉及了形形色色的圆锥曲线处理手段，还收录各位巨神的精彩解答，其中当然也包括微量的射影、对合、配极等知识。如果想要系统地学习这些方法，请分别阅读1918, 3235, 4444。对于难以理解的性质或者证明，跳过即可。然而，作为一个方法性的专题，圆锥曲线的使用方法或多或少蕴藏在这些性质的证明之中，阅读这些证明想必有助于学习圆锥曲线。

关于习题
除了阅读性质的证明之外，为了使读者切身体会到使用圆锥曲线秒题的快感，在（除第一部分外的）某些性质的上方，将配有尽量合理的习题。
请善用各种查询功能查找题号。如果一个性质有多道习题，那么习题将按照难度递增（个人观点）的顺序排列。
这些习题的难度是受到控制的。实际上，在纯几何吧里还有很多很多涉及圆锥曲线，漂亮惊艳但又「极！度！困！难！」的题目，它们的解答可能非常繁琐复杂，或需要灵光乍现，又或是需要大量的其它知识储备——请放心，这一类题目不会直接出现在习题中。
如果习题不会的话，请努力往已学的性质和结构上凑一凑！请珍惜这些有限的习题，它们真的非常宝贵（显然不是所有的题目都能用圆锥曲线解决）！实在没招的话，绝大部分的习题的楼下已有使用圆锥曲线的解答。

目录
第一部分 射影性质
第二部分 外接圆锥曲线
第三部分 等轴双曲线
第四部分 内切圆锥曲线
——
此楼备用

前排膜

本来说是审稿…最后我没看完原稿就发出来了（日常当摆设）

先膜

前排膜，看起来像是大制作呢

第一部分 射影性质
目录
1.1 无穷远点
1.2 交比
1.3 极点极线
1.4 一些定理
1.5 射影与对合
圆锥曲线也称作二次曲线，在平面直角坐标系中可以写为 Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0。圆则是一种非常特殊的圆锥（二次）曲线。圆有极点极线，一般的圆锥曲线也有极点极线；圆上有调和四边形，一般的圆锥曲线上也可以定义调和四边形；圆可以导交比，一般的圆锥曲线也可以导交比；圆有帕斯卡定理，一般的圆锥曲线也有帕斯卡定理……
总之，圆锥曲线除了不能导角、反演，其它性质几乎和圆如出一辙。对于已经学习过圆的极点极线的知识的读者，这些内容理解起来并不困难——它们真的几乎别无二致。
再次声明，如果你是一位竞赛学生，且没有阅读过调和专题2000，又碰巧对调和方法 和（圆的）极点、极线一无所知，那我非常、非常诚挚地建议，应该从2000开始。
在这一部分中，并没有任何习题，但是它们是学习后续知识的基石。
请务必认真阅读 1.2~1.3.2 中的所有内容，交比、调和、极点极线是至关重要的！！它们将频繁地在本专题后续的各个性质的证明中出现！
对于其他方面，极度建议掌握 1.4.1~1.4.3 和 1.3.3(1)~(3) 和 1.1.1 的内容。
1.5 、 1.1.2以及其他剩余部分难度可能较大，且在本专题内不会那么频繁地使用，如果初读时遇到困难也不要害怕——跳过它们。
——
请务必认真阅读 1.2~1.3.2 中的所有内容，记住交比、调和、极点极线。
请务必认真阅读 1.2~1.3.2 中的所有内容，记住交比、调和、极点极线。
请务必认真阅读 1.2~1.3.2 中的所有内容，记住交比、调和、极点极线。
重要的事情说三遍。
如果你阅读完了 1.2 ~ 1.3.2，但是对它们的实际运用并不是非常熟悉，那么不用担心，看下去就会熟悉的。

mod

恭喜豪神，同时更感谢豪神