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wjo
，等明天发一下我是怎么命制的这题
（角度均为有向角）
推广：已知 ABC 内接于 (O)，I 为内心，N 为弧 BAC 中点，NI 与 (O) 的另一交点为 T，D, E 在 BC 上且满足 ID⊥IE ，(DET) 分别与 ID、IE 交于另一点 X、Y，则 O 在 XY 上.
引理：已知 ABC 内接于 (O)，(I) 为内切圆，N 为弧 BAC 中点，NI 与 (O) 的另一交点为 T，l 为平行于 BC 的 (I) 的切线，K 为 (O) 上一动点，AK 与 l 交于 F，TK 与 BC 交于 E，则 IF⊥IE. （等价于 EF 与 (I) 相切）
简证：F→E 为两直线 ( l 与 BC ) 间的射影对应，熟知 FE 包络出一定二次曲线，然后取特殊点即可证此曲线为内切圆. （直接相似/导比亦可证，主要是懒得多打字了）
回到推广，设 l 为平行于 BC 的 (I) 的切线，ID、IE 分别与 l 交于 F、G ，由引理知 AF 与 TE 的交点、AG 与 TD 的交点均在 (O) 上，设为 K、L，则 ∠GAF=∠DTE=∠DYE=∠GYF，故 AGFY 共圆，同理 AGFX 共圆，从而 AGFXY 共圆.
接下来证明 O 在 (AGF) 与 (TDE) 的根轴上. 设 (AGF)=(U), (TDE)=(V)，首先注意到 FG=DE 以及 ∠DVE=2∠DTE=2∠GAF=∠GUF 知 (U) 与 (V) 为等圆 (1). 取 GLKF 与 EKLD 的Miquel 点 M、M'，则 ∠OMU=∠(LK,FG)=∠(LK,CB)=∠OM'V，从而可证 OMU ≌ OM'V，故 OU=OV，结合 (1) 即得 O 在 (AGF) 与 (TDE) 的根轴 XY 上，Q.E.D.
更进一步地可以推广如下：
已知 ABC 内接于 (O)，{P,Q} 为一组等角共轭点，ω 为以 P, Q 为焦点的内切锥线，N 在 (O) 上且满足 AN 平行于过 P 的 (BPC) 的切线，NI 与 (O) 的另一交点为 T，D, E 在 BC 上且存在 DEFG 为外切于 ω 的平行四边形，X、Y 为 (DET) 与过 DEFG 的等轴双曲线的（异于 D, E ）另两个交点，则 O 在 XY 上.
证明思路类似，就不打了。
推广：已知 ABC 内接于 (O)，I 为内心，N 为弧 BAC 中点，NI 与 (O) 的另一交点为 T，D, E 在 BC 上且满足 ID⊥IE ，(DET) 分别与 ID、IE 交于另一点 X、Y，则 O 在 XY 上.
引理：已知 ABC 内接于 (O)，(I) 为内切圆，N 为弧 BAC 中点，NI 与 (O) 的另一交点为 T，l 为平行于 BC 的 (I) 的切线，K 为 (O) 上一动点，AK 与 l 交于 F，TK 与 BC 交于 E，则 IF⊥IE. （等价于 EF 与 (I) 相切）
简证：F→E 为两直线 ( l 与 BC ) 间的射影对应，熟知 FE 包络出一定二次曲线，然后取特殊点即可证此曲线为内切圆. （直接相似/导比亦可证，主要是懒得多打字了）
回到推广，设 l 为平行于 BC 的 (I) 的切线，ID、IE 分别与 l 交于 F、G ，由引理知 AF 与 TE 的交点、AG 与 TD 的交点均在 (O) 上，设为 K、L，则 ∠GAF=∠DTE=∠DYE=∠GYF，故 AGFY 共圆，同理 AGFX 共圆，从而 AGFXY 共圆.
接下来证明 O 在 (AGF) 与 (TDE) 的根轴上. 设 (AGF)=(U), (TDE)=(V)，首先注意到 FG=DE 以及 ∠DVE=2∠DTE=2∠GAF=∠GUF 知 (U) 与 (V) 为等圆 (1). 取 GLKF 与 EKLD 的Miquel 点 M、M'，则 ∠OMU=∠(LK,FG)=∠(LK,CB)=∠OM'V，从而可证 OMU ≌ OM'V，故 OU=OV，结合 (1) 即得 O 在 (AGF) 与 (TDE) 的根轴 XY 上，Q.E.D.
更进一步地可以推广如下：
已知 ABC 内接于 (O)，{P,Q} 为一组等角共轭点，ω 为以 P, Q 为焦点的内切锥线，N 在 (O) 上且满足 AN 平行于过 P 的 (BPC) 的切线，NI 与 (O) 的另一交点为 T，D, E 在 BC 上且存在 DEFG 为外切于 ω 的平行四边形，X、Y 为 (DET) 与过 DEFG 的等轴双曲线的（异于 D, E ）另两个交点，则 O 在 XY 上.
证明思路类似，就不打了。
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