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2.设圆I是以I为心，AI半径的圆，K'，B，C经过反演得到K"，B'，C'。下证:B'C'K"A'共圆。
易知AA'KK"共圆，BB'CC'共圆。设BI交圆O于E，AC中点J。则角B'K"A'=角B'C'A'等价于角(AB'，CA')=角B'K"A'等价于角EKI=角(B'K"，IJ)

3.设B关于Ⅰ的对称点为L，IJ交KE于M，则B'K"LK共圆，故(2)中欲证结论等价于证明lMLK共圆，下证角EKL=角JIE

4.
设EJ交圆O于P，则角EIJ=角EPI，故只需证绿色三角形相似，作QI=EL，只需红色三角形相似，显然

关于这道题有两个推论。

推论1
作平行四边形AICF，N为奈格尔点，K是ON与圆O的交点，则K，J，F共线

推论2
设H是垂心，则K关于圆O的斯坦纳线过N

推论3
设p是平面上一点，过A，B，C作P的对称点，则圆O，圆A'B'C，圆A'C'B，圆AB'C'共点K，设N是满足平行四边形NBA'C，NAB'C，NBC'A的点，则直线PN恒过三角形ABC重心G

这道题有点难度哈，不知道有没有简单方法@forever豪3

配图上错了，重发一遍。(1〉中相似在1547http://tieba.baidu.com/p/5778121868?share=9105&fr=share&see_lz=0&sfc=copy&client_type=2&client_version=11.3.8.2&st=1604203575&unique=30B74EB6CD4E96D8945C0411B17F810B

对本题的推广，也感谢豪神的证明
推广中取P为内心，容易看出Q就是原题的N，也就是Nagel点，故原题只需证外心，Nagel点，费尔巴哈反补点共线，取补即是说内心，九点圆心，费尔巴哈点共线，这当然是不言自明的