【纯数学】0.9循环到底等不等于1
作为一个中考数学120满分，高考数学150满分的曾经的数学学霸，我很纠结这个问题，所以这2天我在网上再学习了一下，终于找到了可以令我释然的答案。详细先可以看图，我再来说明一下。
首先我先来解释一下无限接近于这个概念，比如0.0000……1，-0.0000……1这2个数分别从左右2边无限接近于0，但是这2个数不在实数轴上，也就是说这2个数不是实数，他们既不是无限循环小数也不是无限不循环小数。
那么从这个里面我们可以推断出什么呢？
实数的稠密性可以证明0.9循环等于1，也可以证明0.9循环不是实数也就是不等于1。
我们看看实数的稠密性是怎么证明的：见图2
如果把0.9循环和1带入这个证明，那么不是就把稠密性证伪了吗，当然你可以说0.9循环和1不满足a小于b，所以不能带入，那你用实数的稠密性去证明0.9循环等于1不是自己证明自己吗？当然我不会用这个来反证，没意思，请看我下面的证明方法。
假设a小于b，那么存在x=（a+b）/2满足a小于x小于b，这里可以得出一个推论，a和b关于x对称，也就是说对于任何实数a和b，存在一个点x使得a，b关于x对称，进一步，对于任何实数a和x，存在一个实数b关于x和a对称。
那么0.9循环关于1和什么实数对称呢？我们参照0旁边的2个无穷趋近于0，可以知道和0.9循环对称的应该是1.0000……1，但是这个数不是实数。所以0.9循环不是实数。
那么我们在回头看图1，0.9循环到底等于不等于1就有结论了，就是当你把0.9循环强行定义为实数并且“不”无穷趋近于1的时候，他就等于1，而且必须等于1不然整个实数就被证伪了。如果你认为0.9循环无穷趋近于1那么你就定义了1个新的数系，就不等于1。
事实上，没有任何靠谱的证明包括什么集合论，稠密性，如果0.9循环是有理数那么0.9循环等于1/1之类，能够证明0.9循环等于1，只是强行定义而已。