任何同维数的线性空间都是同构的，但一般说来，两个同构的线性空间的同构映射却有无穷多种，没有哪一个同构映射比其它映射更优越。然后，有时候两个线性空间，它们之间存在一种“自然”的同构映射，它具有唯一性，也就是说，它是无穷多种同构映射中唯一具有“自然”属性的同构映射。因此，我们可以在不加任何其它条件的前提下，唯一指定该“自然同构映射”为两空间的同构，而不致引起混乱。

我的主要问题就是不满足于类似梁书已经梁自己讲课视频中那种“哲学化”的解释，我需要的是比较具体化的对“自然”的同构的定义，而不是模糊不清的所谓有一个独一无二的同构映射，如果有人能给一个具体的证明就更好了。

不懂帮顶。梁书还有一个对偶微分形式与微分形式形成同构，它们也可以代表同一个物理量；还有用度规在矢量空间与对偶矢量空间建立同构。

弱弱的说一句，我局的老张说滴甚有道理。

数学中的“自然（natuaral）”，“典则（canonical）”之类的词在不同环境里有不同含义，但基本思想是“不依赖于（坐标系，基底，。。。）的选择”。换句话说它是与生俱来的，或者说随着牵涉到的对象本身的定义而来的。这也是为什么说它是“自然”的。
就矢量空间而言，我们知道任何两个同维数的（实/复）矢量空间都同构。原因很简单，如果n维矢量空间U具有基底 e_1, ..., e_n，V 具有基底 f_1, ..., f_n，那么我们把 e_1 映到 f_1，。。。，e_n 映到 f_n，再线性扩展到其它元素，U到V的同构就构造出来了。但是，这个构造明显依赖于e_i 跟 f_i 的选择。如果在U或V中另选一组基底，同样的构造法就会得出完全不同的同构。
可是V跟V**的情况却有所不同。我们已经知道矢量空间跟它的对偶空间维数是相同的，所以V跟V**必定同构，而如果像上面那种做法，我们肯定也可以做出两者之间的同构，坏处是这种同构会同样依赖于V跟V**的基底的选取。
但是我们还可以利用V**的特殊性来构造下面的同构：任取V中矢量v和V*中矢量w*，我们定义v在w*上的作用为 v(w*) = w*(v)。这个定义是有意义的，因为w*作为V*中元素是V上线性函数，所以上面等式右边应该得到一个实数，并且这种作用是线性的。换句话说，你随便给我一个v，我就能构造出一个V*上的线性函数，或者说V**中的元素。这正是一个V到V**的映射。容易验证这个映射是线性同构。这样定义出来的同构是唯一确定的并且跟基底选取无关，因为我在定义过程中根本就没有用到V跟V**的基底。这就是为什么我们认为V跟V**是天然同构的，甚至在应用过程中往往不区分两者。

矢量空间的二要素：集合及作用于该集合上的线性运算
复平面的矢量X=x+iy，由集合R²生成，其全体集合构成二维矢量空间

X的共轭矢量X*= x-iy，按复数乘法作用于X时，有
X*（X）=（x-iy）·（x+iy）=x²+y²∈R¹
所以，X*是X的对偶矢量。

不好玩，老被吃&喽

续，试试

好帖子，学习一下。由运算法则组成的线性空间理解上有点难度。

这个不需要纠结，很简单。
普通的(1,1)张量，你要自己人工定义规则。
而V与V*上的这个张量，从你定义好V上的线性函数的那一刻起，它就【自然】出现了，不需要额外手动定义。