所谓矢量，就是有大小与方向的量。可是，”方向“只是物理概念，不是数学概念。数学上如何来表示”方向“呢？我们很早就学过，用（0，0，1），（1，0，0）这样的数组来表示。但这样的表示，隐含地引入一个坐标系（坐标基矢）。这在抽象分析中是大忌，因为物理结论不应与坐标系的选取有关。因此，不引入任何坐标系而能定义”方向“，就成为必须。
数学家想出了一个聪明的办法，这就是由”方向导数“来定义”方向“。在《数学分析》中，我们是先有”方向“，再定义”方向导数“。而在这里，我们要反过来，先定义”方向导数“，再定义”方向“。换句话说，”方向导数“的算子D，本身就表示一个抽象的”方向“。不同的算子，就代表不同的“方向”，而所有的算子所构成的线性空间，就是一切“方向”。这就是不引入坐标系而定义“方向”的数学办法。
简单来说，就是用抽象的方法去构造一个与有关问题的“方向”一致的线性空间。只要构造出来这个线性空间，并且与实际问题的结构一致（维数），我们就成功了。无论是导算子的方法，还是波函数方法，都可以。
导算子方法，适用于有限维线性空间。而波函数方法，可以构造无限维的线性空间。

班门弄斧一句话：
矢量，原来是指有方向的量，后来，延伸成有序的量
只要有序，无所谓三维、五维……离散维、连续维……复数维、张量维……

是否矢量是相对的，而标量是绝对的呢？

期待楼主能抽时间更新讲解，这个问题很基本，但相信大部分人也确实不了解明确的定义，包括我在内。

由于网站的原因，楼主的讲解一直无法发出。在此贡献一点绵薄之力贴出楼主详尽地讲解内容，供各位有兴趣地吧友参阅。在此感谢楼主特地抽时间地辛苦付出。

看了你的文字后，确实进一步增加了对切矢的理解，但仍然有一个问题我始终没有得到一个清晰的认识，那就是，为什么切矢会有这么多种定义方式？这关系到切矢究竟是什么的问题。这与它怎么定义不一样，仅仅通过定义并不能完全解决它是什么这个问题，因为所有的定义虽然等价但并不一致（这里的等价指用起来效果相同，而一致指的是“定义的对象”一模一样，比等价要强），因此可能需要依靠找到定义切矢的“意图”或者“动机”来解释切矢定义的“随意性”的出现。不知道对此问题楼主有什么好的解释方式吗？

@贴吧用户_Q5P6URC： “所有的定义虽然等价但并不一致（这里的等价指用起来效果相同，而一致指的是“定义的对象”一模一样，比等价要强）”
我跟你的看法有点不一样。如果举个生活中的例子，切矢就像是一个人，在不同场合他可能是医生，父亲，儿子，丈夫，同事，朋友等等，但在所有这些身份下面的终究还是同一个人。切矢的各种定义体现的是用起来效果**不同**的地方，犹如同一个人的不同身份，而定义之间数学上的等价性恰好说明了这些不同身份之下还是同一个对象。
这里的等价，是指“典则”（canonical）或者是“自然”（natural）的态射，通俗地说就是有办法把一个定义下的切矢自然地看成另外一个定义下的切矢，而不用依赖于坐标系的选取。比如几何版的曲线等价类可以很自然地引出分析版的沿曲线求导，而沿曲线求导又明显是代数版中光滑函数空间上的导子，这里的每一步都不牵涉到坐标系，当然也就不依赖于坐标系选取。
切矢定义的多样性，反映的是切矢这个概念的“一体多用”。但不管是哪种定义，最后得到的切空间，特别是切空间全体构成的切丛，完全是等价的，也就是说从数学上看没有区别。所以各种教科书往往从自己的需要入手而采用某一个定义。至于切矢究竟是什么？我的看法是，它是所有这些身份的综合。其实生活中如果抛开不同场合的不同身份来讨论某人究竟是谁也不是那么容易的，也许最全面的回答仍然是列出他的所有身份。

其实你想说的和我想说的不冲突，只是我的表达上有一点歧义。我说的“使用上效果相同”指的是最终效果相同（“最终”，划重点），我说的“定义对象不一致”指的是直接定义对象不一致（“直接”，划重点）。所以当我说“使用上效果相同”的时候对应的是你说的“它们是同一个东西”，而我说的“定义对象不一致”对应的是你说的“不同的使用方式”。因此在这种对应关系下我们是达成共识的，只是选择了不同的表达方式。
至于“自然同构”这事，我不确定是否应该在这里使用，而且我对“自然同构”有一些偏见。我承认某个特殊的同构映射是“天然/自然”存在的，但我不承认“它们自然同构→它们就是同一个东西”中的箭头（→）是“自然”的，这个箭头更像是一种人为设定，从前者推出后者并没有绝对的逻辑上的必然性，我只能把它当做是一种非逻辑性的选择偏好。而这种偏好基于什么原则呢？我猜测是一种概念的精简性原则（倾向于减少概念定义数量）。当然，如果这个箭头隐藏了某种直觉性的解释过程，那么这个解释过程就必定是“可说的”，可惜我从未见到有人为这个箭头做过任何直觉性的解释。也许我们应该反过来思考，先假设自然同构的东西不是同一个东西，看看会出什么问题，以此来加深对这件事的认识。
再回到“究竟什么是切矢？”这个最初的问题上，我不反对把它当成是所有定义的综合，但这种方法并不完全令人满意，它依然无法消除对切矢概念理解的模糊性和不确定性（例如，我们还能不能构造出其他更多的定义方法？构造原则是什么？毕竟我们在穷尽所有的定义方法之前说“切矢是所有定义的综合”是无力的，不是不对，而是无力）。原谅我过分的钻牛角尖，但这些确实还不是我想要的答案。

最近找到一本尚未完稿（已完成96.6%）的微分几何书（Differential geometry reconstructed: A unified systematic framework，作者：Alan U. Kennington），这本书对“切矢是什么”这个问题提供了非常深刻的见解，我认为对切矢有过疑惑的都应该通过这本书了解一番。这本书虽然尚未完稿，但已有2400余页之多，远远超过现有的所有微分几何书。之所以它内容这么多，除了它的主要目标是深挖微分几何的基础以外，其中一个重要原因可能是它不仅仅包含纯数学内容，还包含了一些偏数学哲学的讨论（比如“切矢的实质”这一主题），这样的讨论确实是罕见的。尽管我只挑选了目前我所关心的一小节大概看了一下，也感觉到了作者的思考实在是太细了。因此现在我根据我看过的一小节内容把书中有关切矢的重要见解按照我自己的理解总结如下（由于自己水平有限，可能理解不够全面，会有很多遗漏，仅作参考，具体可以直接看书）：
1.切矢应该被当成速度矢量来理解。这一点楼主也提过，但可能没有着重强调这种看法的重要性，因为这种看法的关键点在于，切矢不应该被理解成无穷小的空间位移，总之不能把切矢当成是空间中的矢量来看待，必须结合时间把切矢想象成空间位移随时间的变化率，而这里的时间就是空间中曲线的参数t。也就是说，切矢应该是某种“时空”（这个时空和相对论无关）实体，而不是空间实体。把速度矢量画在空间中的惯常做法可能会导致初学者对切矢产生错误印象。切矢应该是把时间参数加进来后曲线在时空中的图像的切线。所以作者与Do Carmo都主张“一旦看到切矢就要想到速度”这样的思维模式。对切矢在这一方面的理解和芝诺的“飞矢不动”悖论所反映的思想有着非常一致的内核。
2.之所以切矢的定义如此“随心所欲”，是因为切矢其实是一个处在曲线和函数之间的中间概念。曲线参数的变化会引起流形上的点的变化，流形上的点的变化又会引起函数值的变化，从曲线参数到函数值的“交易”过程中存在一个中间商，这个中间商就是流形上的点。整个过程如下图所示：

曲线参数的变化需要换成流形上的点的变化，然后再把流形上的点的变化换成函数值的变化，其中存在两次实数值与点之间的交易，很明显，实数值与点之间的汇率会影响这两次交易，但不影响最终交易结果，即不影响曲线参数和函数值之间的汇率。切矢在这个交易过程中就充当了那两次实数值与点之间交易的汇率（严格来说，其中一次是切矢的对偶），所以这个汇率具体是多少并不是那么重要，因为无论它是多少都不影响曲线参数变化所引起的函数值的变化率。因此只要保证最终效果相同，切矢想怎么定义就怎么定义。例如，对于曲线等价类和微分算子这两种定义，曲线等价类把作用在函数上效果相同的曲线归为一类，而微分算子直接就是作用在函数上的效果本身。
3.与流形上的点的概念一样，切矢也是一个在数学上无法被定义的概念，或者说是数学之外的（extra-mathematical），那些所谓的定义其实应该被称作切矢的表示（representation），而任何表示都不是真正的切矢。流形上的点其实从未被真正定义过，我们只是用坐标来表示它们了而已。但是我们为什么从未对点的概念表示疑惑而对切矢摸不着头脑？可能的一个原因是，当我们用坐标来表示点的时候我们很清楚我们要表示的对象是什么，同时在脑海里对“点”这个东西有一个非常清晰的图像。而对于切矢，我们甚至在表示它之前都不知道我们要表示什么，或者误以为我们知道要表示什么，这就导致我们看到切矢的形式化定义时是一脸懵逼的。这也许是为什么切矢定义难以理解的一个原因吧。
4.不可能构造出完全脱离坐标系的切矢表示，因为所有能用到的流形上的微分结构全部都来自于坐标系。通常认为微分算子和曲线等价类是脱离坐标系的表示，只不过前者需要借助函数族，后者需要借助曲线族而已。但其实任何一个函数都完全可以看成是坐标系中的某一个坐标，曲线也可以看成是坐标系中的某条坐标线，所以函数和曲线不过是伪装得很好的坐标系罢了。因此这两种表示都不算真正的脱离坐标系。
5.作者提倡使用(坐标系,仿射直线)的等价类来表示切矢，如下图所示：

以这一表示方法为起点可以很容易地扩展到其他表示方法。作者的想法是，因为既然无法脱离坐标系来表示切矢，那么就直接大方地把坐标系摆出来，不必遮遮掩掩。那为什么不直接使用坐标系和数组配对的表示方法呢？可能是因为这个方法没有指出它所表示的对象是什么，在本体论上很空洞，我们都知道坐标表示的是点，但数组表示的究竟是什么，这很难从这种形式化表示中得到答案。
6.该书总结了7种类型的切矢表示方法，如下所示（其中第一种就是作者提出的方法）：

7.该书还罗列了过去文献中主要使用的切矢表示方法：

可以看到，微分算子（导子）是最常用的方法，这可能与它在计算上的方便性和哲学上（本体论上）的舒适性上达到最佳平衡点有关。