楼主都不懂协变与逆变矢量，不是微分几何中的

呵呵，这问题与”方向“有关。我们知道，所谓矢量，就是有大小与方向的量。可是，”方向“只是物理概念，不是数学概念。数学上如何来表示”方向“呢？我们很早就学过，用（0，0，1），（1，0，0）这样的数组来表示。但这样的表示，隐含地引入一个坐标系（坐标基矢）。这在抽象分析中是大忌，因为物理结论不应与坐标系的选取有关。因此，必须不引入任何坐标系而能定义”方向“，成为必须。
数学家想了一个聪明的办法，这就是由”方向导数“来定义”方向“。在《数学分析》中，我们是先有”方向“，再定义”方向导数“。而在这里，我们反过来，先定义”方向导数“，再定义”方向“。换句话说，”方向导数“的算子D，本身就表示一个抽象的”方向“。不同的算子，就代表不同的“方向”，而所有的算子所构成的线性空间，就是一切“方向”。这就是不引入坐标系而定义“方向”的数学办法。

比较直观地，矢量就是在坐标变换时遵守V'^a=∂x^a/∂x^b V^b 这样的变换规则的量

还是梁灿彬讲得形象
我把它概括为三个层次。
几何层次：有方向的线段
代数层次：有序有规则的集合
微几层次：一种到R上的满足线莱律的映射（v的本质）