这是卡塔兰猜想，现在是定理了。卡塔兰猜想是比利时数学家欧仁·查理·卡塔兰(Eugène Charles Catalan)在1844年提出的一个数论的猜想.它是说除了8=2^3,9=3^2,没有两个连续整数都是正整数的幂；以数学方式表述为：不定方程x^a-y^b=1的大於1的正整数x,y,a,b只有唯一解x=3,y=2,a=2,b=3.也可以叫“8--9”猜想. 2002年4月,帕德博恩大学的罗马尼亚数学家普雷达·米哈伊列斯库(Preda Mih?ilescu)证明了这猜想,所以它现在是定理了.这个证明由尤里·比卢(Yuri Bilu)检查,大幅使用了分圆域和伽罗华模. 与卡塔兰猜想相似的有费马大定理. 历史在卡塔兰之前已有人考虑过类似的问题. 1320年左右,莱维·本·热尔松（Levi ben Gerson,1288年—1344年）证明2和3的幂之间只有8和9相差是1. 莱昂哈德·欧拉证明,x2 - y3 = 1只有一x = 3,y = 2. 勒贝格证明了方程xa - y2 = 1,a > 1 没有正整数解. 1965年柯召证明方程x2 - yb = 1,b > 1 只有一个解. 於是卡塔兰猜想只馀下a,b为奇素数的情况. 1976年罗贝特·泰德曼(Robert Tijdeman)证明卡塔兰猜想的方程只有有限个解.雷·斯坦纳(Ray Steiner)和莫里斯·米尼奥特(Maurice Mignotte)也对这猜想作出贡献. 皮莱(Pillai)猜想：把卡塔兰猜想一般化,推测正整数的幂之间的差趋向无限大；换句话说,对任何正整数,仅有限多对正整数的幂的差是这个数.这猜想现在仍未解决.

2^3=8 和 3^2=9 是相邻的，是唯一解。
证明：
根据题意，相当于2^m - p^n=+-1是否有正整数解。
1、当2^m - p^n=1时，即2^m =p^n+1，由于m>=2,所以n不能为偶数，否则，2^m=(2k+1)^2+1,得出4/2,不可能；当n为奇数时，2^m=p^n+1=（p+1-1）^n+1=(p+1)^n-n(p+1)^(n-1)+......-n(n-1)/2((p+1)^2+n(p+1)-1+1=(p+1)^n-n(p+1)^(n-1)+......-n(n-1)/2(p+1)^2+n(p+1)，显然（p+1)/2^m,如果（p+1)不等于2^m，得出2/n,不可能。又n>1,p^n+1>p+1,所以（p+1)等于2^m，不可能。
2、当2^m - p^n=-1时，即2^m =p^n-1=（p-1+1）^n-1=(p-1)^n+n(p-1)^(n-1)+......+n(n-1)/2((p-1)^2+n(p-1)+1-1=(p-1)^n+n(p-1)^(n-1)+......+n(n-1)/2(p-1)^2+n(p-1),2^m为p-1整除，如果p-1等于2^m,p-1=(p-1)^n+n(p-1)^(n-1)+......+n(n-1)/2(p-1)^2+n(p-1),不可能；如果p-1不等于2^m（只能小于），得出n为偶数。令n=2a，2^m=p^n-1=p^(2a)-1=(p^a+1)(p^a-1)
两边同处于4：2^（m-2）=(p^a+1)/2(p^a-1)/2,只有二种可能：(p^a+1)/2=1或(p^a-1)/2=1
当(p^a+1)/2=1时，p^a=1,不可能；当(p^a-1)/2=1时，p^a=3,从而p=3，a=1，n=2,2^m=p^n-1=3^2-1=8，m=3。因此，原题只有唯一一组解：,m=3，p=3,n=2。证毕。