随着斜面倾角的增大，圆柱体将会达到一临界状态：从纯滚动变为滑动，其临界条件是
f=μ*F；对于固定斜面，易推出当斜面倾角θ=arctan(3μ)时，达到临界状态。若斜面比临界角稍大，则圆柱体将从滚动变为连滚带爬式（平动与转动的合运动）的运动。

斜面上是一个质量为10kg的长方体，μ=0.7，g取10
长方体的地面是长方形，它比起圆柱体来说，稳定性好得多多多，它尚且不能保证无滑动，更何况曲面接触的圆柱体。
如下图，圆柱体所在的接触面只要倾斜，柱体本身重力就会寻找新的平衡位置，所以θ=arctan(3μ)时，无滑动是不可能的！

再如，给斜面上的柱体低下加楔子，当楔子刚好在重力作用线下时，能够使柱体平衡静止，向右一点，重力力矩一定会使柱体滚动下来，反之，楔子越向左柱体越稳定。

比如这个断言：“如下图，圆柱体所在的接触面只要倾斜，柱体本身重力就会寻找新的平衡位置，所以θ=arctan(3μ)时，无滑动是不可能的！”，最好通过计算分析得到这个结果。经典力学里的“可能”，仅仅是因为题设不足。

我的计算结果，仅仅是摆了摆数据，平行于斜面的分力是90.631牛，对斜面的正压力是42.062牛，斜面对长方体的滑动摩擦力(一般看作最大摩擦力）是29.583牛，这些数据不符合任何关系式，但是，其大小却证明一个情况，即：下滑分力大于滑动摩擦力，物体必然向下滑动！
你所说的临界状态的大小是θ=arctan(3μ），请问：这是下限还是上限呢？请告诉我，其他的，我们再慢慢交流。

临界,由某一种状态或物理量转变为另一种状态或物理量的最低转化条件.
临界状态[1] 是指纯物质的气、液两相平衡共存的极限热力状态
如果把你的【当斜面倾角θ=arctan(3μ)时，达到临界状态】看作【最低转化条件】的话，当μ=0.7时，θ≈64..54度时最低倾角，这就更加荒唐了！即使64.54度是最大倾角，柱体也一定不会纯滚动。
纯滚动的条件应该是μ≥tanθ，因为知道两物体间的摩擦因数后再考虑斜面倾角的适宜度数。当然，反过来的纯计算题也是可以的。

条件都是μ≥tanθ，为什么左边的图1保持平衡静止而右边的图2不能呢？（假设图2重心位置与图1相同）

临界条件用摩擦因数跟斜面倾角之间的定量关系式来表达。
1、滑块静止在固定斜面上，随着倾角θ增大，滑块总会达到突然滑动的这一状态，原因是滑块受到的静摩擦力突然变为滑动摩擦力（具体的复杂得多，比如静摩擦力随着倾角增大而增大，增大至μ0=tanθ——μ0是最大静摩擦系数比滑动摩擦系数μ略大——一般认为二者数值差别很小可以作为同一个对待），滑块从静止到滑动，发生了突变，这个状态的突变为临界状态。
2、若斜面不固定，比如置于光滑水平面上，随着斜面体倾角增大，也会出现临界状态，其临界条件与1不同。
3、如果把上述滑块换成圆柱体，当固定斜面倾角很小时，圆柱体会沿斜面作纯滚动；，随着倾角增大，当增大至某一临界角度时，圆柱体纯滚动突变为非纯滚动，这个临界状态对应的条件是：第一，静摩擦力刚好达到最大值：f=μN；第二，恰好有a=Rβ。根据转动定律和牛顿第二定律推出的临界条件是μ=tanθ/3；
4、若斜面不固定，如本主贴所给的题目，临界条件是：

可以看出，对于确定的摩擦因数，对应的倾角是摩擦因数，二者的质量之比的函数。

对于转动惯量为J、半径为R的刚体，如球体，圆柱体等，临界条件表示为
tanθ=(1+m*R^2/J)*μ

静摩擦力的产生方式有两种：一是被研究物体主动运动时受到接触物体的静摩擦力，二是被研究物体被动接受主动运动的接触物体的静摩擦力（如传送带送货物从低处到高处），这两种静摩擦力的共同点仍然是【只有相对运动趋势而没有相对运动】——柱体的滚动属于前者。

在现行人教版高一《物理1.必修》第57页对于“静摩擦力”产生过程有如下的阐述：小孩轻推箱子，箱子有相对地面运动的趋势，但他没有推动，箱子与地面之间仍然保持相对静止。根据初中所学的二力平衡的知识，这时一定有一个力与推力平衡。这个力与小孩对箱子的推力大小相等、方向相反。这个力就是箱子与地面之间的静摩擦力。静摩擦力的方向总是沿着接触面，并且跟物体相对运动趋势的方向相反（注：两个注释没有引用）。

如图，F1是推力，箱子对地面的作用力是F2，地面对箱子的作用力是F3，很显然，F1与F3是一对平衡力，正是因为此二力平衡，所以箱子仍处于静止状态。那么，静摩擦力既然已被平衡，何来再产生平动加速度和转动加速度呢？

如图，匀质圆柱体的固定轴O被夹在一个中空的钢梁之间，其与斜面恰好接触但斜面不承担支持力，斜面B之上时光滑的。当柱体沿钢梁向下滑动到点A时，点A处有一个凸起的阻碍物，这是，柱体会被停止滑动，先不考虑点A对柱体的阻力的大小，有一点是肯定的，此阻力阻止了点C处柱体的滑动。当撤去点A处的凸起后，再一次从顶端使柱体沿钢梁下滑，当到达点B时，点B及其以下的斜面是粗糙的，柱体会滚动起来，滚动的原因是点C受到了静摩擦力后停止滑动，而整个柱体在重力力矩的作用下滚动了起来。

重力力矩mg×Rsinθ=3mRRβ/2，a=Rβ，所以，a=2gsinθ/3，这是质心加速度。
实际上，从动能角度分析，mgsinθ的2份参与平动，1份参与转动，这1份的大小正好是mgsinθ/3，巧合的是套上静摩擦力后大小也是这个值。

@邦钦孙
对质心平动，牛顿第二定律：
mgsinθ-f=ma <1> F=mgcosθ <2>
恰能达到临界：f=μ*F <3>
你给的结果：2mgsinθ/3=ma <4>
联立上述方程组-->μ=(1/3)*tanθ