四元数乘法的几何意义

不管是几元数，加法都符合平行四边形法则

那乘法呢？

复数的乘法就是把两个数到原点的距离相乘，把由1所指方向逆时针转到两个数所指方向时分别转过的角度相加，得到的复数就是这两个数的乘积

今天先到这里，明天继续

那是否存在三元数，乘法也像复数一样表示旋转与缩放呢？

一个三元数所指的方向就不能简单地用角度这个标量来表示了，但可以表示为二维球面上由一个固定的点出发的向量（我暂时把它叫做“方向向量”），所以三元数乘法中对两个数所指方向的操作就是把它们的方向向量相加。

二维球面上不存在平行线，也就不存在平行四边形，所以方向向量的加法只能用三角形法则。三角形法则需要平移向量，而平移必须使得平移前和平移后的向量延长后不相交（由于方向向量在乘法中表示旋转，因此平移后不必是球面上的大圆弧，暂时不考虑长度）。如果可以自由地平移，那么必定可以在球面上找到一组不相交且布满球面的封闭圆环，使得向量平移是总与其中一个圆环叠合。能找得到这组圆环吗？

显然不能！就像三维空间中的椰子的毛捋不顺一样。

因此，三元数不存在。

今天先到这里，明天继续

今天出了点问题，明天继续

那四元数呢？

现在把图中平面上两条坐标轴换成四维空间中的两个平面，每个平面上的点由一个复数表示，两条实轴与两条虚轴两两垂直，此时两个平面只在原点相交，且四维空间中的点可用两个复数表示。两个图形的方程不变，表示的是图形上的每一点对应的两个复数的关系。这样，圆就成了三维球面，直线就成了二维平面，它们交于一个圆。当k取尽所有复数（包括无穷大）时，这些相交成的圆也就填满了三维球面。由于任意一个非零复数乘不同的复数积总是不相同的，所以任意两个由函数y=kx表示的平面都只交于原点，而三维球面上的这些圆显然不经过原点，因此这些圆两两不相交。所以，三维球面可以被分成一组不相交的圆，这些圆组成了一个叫做纤维丛的东西。

将三维球面中纤维丛的部分圆周球极投影（如最上图，把球面上的东西投影到平面上的一种方式，这里用来把三维球面上的东西投影到三维空间中，其中北极会被投影到无穷远点）到三维空间中，就是中图那个样子，其中单个环面上圆周的排列如最下图。

现在已经找到了三维球面上一组布满三维球面且不相交的圆周，这样上面的方向向量就可以自由地平移。