令P,Pa,Pb,Pe,Q,Qa,Qd,Qf,R,R8,Rc,Rf,S,分别为△ABE,△BCF,△CDE的内心与旁心,有完全四边形
BPaSCER,PaQDEASc的密克尔点P1,Q1,R1,S1即直
RRs,SSe,PbPe,RRf,SSd；PaPe,QQf,SSc；PPr,QaQf,RRc的三圆Ps
BPaSCER,PaQDEASc的密克尔点P1,Q1,R1,S1即直
RRs,SSe,PbPe,RRf,SSd；PaPe,QQf,SSc；PPr,QaQf,RRc的三圆Ps
求证：完全四边形各边共交成四个三角形，他们的内心、旁心共16点．在每个三角形中，分别以内心、旁心两两的连接线作图，如此一共可得24个圆．这24个圆，除三三交于各三角形的内心、旁心外，又三三交于其他16点．这16点连同各三角形的内心、旁心计32点，分布在八个圆上，每圆上有八点．这八圆组成两组互相正交的共轴圆，每组含四圆，它们的等幂轴通过完全四边形的密克点．
证明 如图，（1）令P、PA、PB、PE、Q、QA、QD、QF、R、RB、RC、RF、S、SC、SD、SE分别为△ABE、△ADF、△BCF、△CDE的内心与旁心，有完全四边形DQFRCFS、BPESCER、PAQDEASC、QAPBFARC的密克点P1、Q1、R1、S1即以直径为QDQF、RRB、SSE；PBPE、RRF、SSD；PAPE、QQF、SSC；PPE、QAQF、RRC的三圆的交点．完全四边形QFRFCDSDF、PESECBRBE、PBADSCQDE、QDABRCPBF的密克点P2、Q2、R2、S2即以直径为QDQF、RCRF、SCSD；PBPE、RBRC、SCSE；PPB、QAQD、SSC；PAPB、QQD、RRC的三圆的交点．完全四边形QASCFDRC、PARCEBSC、PBQFDEASD、QDPEBFARB的密克点P3、Q3、R3、S3即以直径为QQA、RCRF、SSE；PPA、RRF、SCSE；PPB、QQF、SDSE；PPE、QQD、RBRF的三圆的交点．完全四边形QRCDFSC、PSCBERC、APESEDQDE、AQFRFBPBF的密克点P4、Q4、R4、S4即以直径为QQA、RRB、SCSD；PPA、RBRC、SSD；PAPE、QAQD、SDSE；PAPB、QAQF、RBRF的三圆的交点．
（2）因为A、P、B、PE与A、Q、D、QF四点共圆，有∠RPES=∠BAP=∠QAD=∠BQFS，所以R、S、QF、PE四点共圆，令其圆心为O1，因为P1、Q1、R1、S1为有关完全四边形的密克点，于是它们分别在⊙QFRS、⊙PERS、⊙PSQSC、⊙PQARC上，所以P1、Q1在⊙O1上．
因为∠PAR1PE、∠SR1SC、∠QAS1QF、∠RSRC均为直角，有
∠PAR1SC=∠SR1PE，∠QAS1RC=∠RS1QF
又 ∠PAR1SC=∠PAQSC=∠SQFPE，∠QAS1RC=∠QAPRC=∠RPEQF
故有R1、S1早⊙O1上，即PE、QF、R、S、P1、Q1、R1、S1八点共圆．
同理可得⊙O2：PBQDRCSCP2Q2R2S2；⊙O3：PQRFSEP3Q3R3S3；⊙O4：PAQARBSDP4Q4R4S4；⊙O5：PQARCSP3Q4R2S1；⊙O6：PEQDRBSEP1Q2R4S3；⊙O7：PAQRSCP4Q3R1S2；⊙O8：PBQFRFSDR2Q1R3S4．
（3）因为∠P4SDPA+∠P4SCPA=90°，所以∠P4O4PA+∠P4O7PA=180°．故P4、PA、O4、O7四点共圆，有∠O4PAO7=∠O4P4O7=90°，所以⊙O4与⊙O7正交，同理与⊙O5、⊙O6、⊙O8均正交，故有⊙O1、⊙O2、⊙O3与⊙O5、⊙O6、⊙O7、⊙O8均正交．
（4）因为⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4与⊙O5、⊙O6、⊙O7、⊙O8是互相正交的两组共轴圆，故有O4PA⊥O7PA、O4QA⊥O5QA、O4QB⊥O6QB、O4SD⊥O8SD；且O4PA=O4QA=O4RB=O4SD，故O4为⊙O5、⊙O6、⊙O7、⊙O8的等幂点．
同理O1、O2、O3亦为⊙O5、⊙O6、⊙O7、⊙O8的等幂点，故⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4所在直线l为⊙O5、⊙O6、⊙O7、⊙O8的等幂轴．同理⊙O5、⊙O6、⊙O7、⊙O8所在直线l′亦为⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4的等幂轴．
（5）令M为完全四边形ABCDEF的密克点，设P′、Q′、R′为PAPB、QAQF、RBRF的中点，由习题21第17题及⊙O4与⊙O8的正交关系，有P′、Q′、R′、SD、S4、O4、O8七点共圆，且以O4O8为直径，故
∠Q′P′R′=∠Q′SDR′=∠SEC
又由复习题1第19、18题，有A、D、F、Q′、M与B、C、F、R′、M均污点共圆，且Q′A=Q′F=Q′QA、R′B=R′F=R′RB，有：
∠Q′MR′=∠FMQ′-∠FMR′=（180°-∠FAQ′）-（180°-∠FBR′）=
=
所以∠Q′P′R′=∠Q′MR′，故P′、Q′、R′共圆，即M在以O4O8为直径的圆上，所以∠O4MO8=90°．同理∠O1MO8=90°，故O4、M、O1共线，即M在直线l上，同理，M在之间l′上．
证明 如图，（1）令P、PA、PB、PE、Q、QA、QD、QF、R、RB、RC、RF、S、SC、SD、SE分别为△ABE、△ADF、△BCF、△CDE的内心与旁心，有完全四边形DQFRCFS、BPESCER、PAQDEASC、QAPBFARC的密克点P1、Q1、R1、S1即以直径为QDQF、RRB、SSE；PBPE、RRF、SSD；PAPE、QQF、SSC；PPE、QAQF、RRC的三圆的交点．完全四边形QFRFCDSDF、PESECBRBE、PBADSCQDE、QDABRCPBF的密克点P2、Q2、R2、S2即以直径为QDQF、RCRF、SCSD；PBPE、RBRC、SCSE；PPB、QAQD、SSC；PAPB、QQD、RRC的三圆的交点．完全四边形QASCFDRC、PARCEBSC、PBQFDEASD、QDPEBFARB的密克点P3、Q3、R3、S3即以直径为QQA、RCRF、SSE；PPA、RRF、SCSE；PPB、QQF、SDSE；PPE、QQD、RBRF的三圆的交点．完全四边形QRCDFSC、PSCBERC、APESEDQDE、AQFRFBPBF的密克点P4、Q4、R4、S4即以直径为QQA、RRB、SCSD；PPA、RBRC、SSD；PAPE、QAQD、SDSE；PAPB、QAQF、RBRF的三圆的交点．
（2）因为A、P、B、PE与A、Q、D、QF四点共圆，有∠RPES=∠BAP=∠QAD=∠BQFS，所以R、S、QF、PE四点共圆，令其圆心为O1，因为P1、Q1、R1、S1为有关完全四边形的密克点，于是它们分别在⊙QFRS、⊙PERS、⊙PSQSC、⊙PQARC上，所以P1、Q1在⊙O1上．
因为∠PAR1PE、∠SR1SC、∠QAS1QF、∠RSRC均为直角，有
∠PAR1SC=∠SR1PE，∠QAS1RC=∠RS1QF
又 ∠PAR1SC=∠PAQSC=∠SQFPE，∠QAS1RC=∠QAPRC=∠RPEQF
故有R1、S1早⊙O1上，即PE、QF、R、S、P1、Q1、R1、S1八点共圆．
同理可得⊙O2：PBQDRCSCP2Q2R2S2；⊙O3：PQRFSEP3Q3R3S3；⊙O4：PAQARBSDP4Q4R4S4；⊙O5：PQARCSP3Q4R2S1；⊙O6：PEQDRBSEP1Q2R4S3；⊙O7：PAQRSCP4Q3R1S2；⊙O8：PBQFRFSDR2Q1R3S4．
（3）因为∠P4SDPA+∠P4SCPA=90°，所以∠P4O4PA+∠P4O7PA=180°．故P4、PA、O4、O7四点共圆，有∠O4PAO7=∠O4P4O7=90°，所以⊙O4与⊙O7正交，同理与⊙O5、⊙O6、⊙O8均正交，故有⊙O1、⊙O2、⊙O3与⊙O5、⊙O6、⊙O7、⊙O8均正交．
（4）因为⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4与⊙O5、⊙O6、⊙O7、⊙O8是互相正交的两组共轴圆，故有O4PA⊥O7PA、O4QA⊥O5QA、O4QB⊥O6QB、O4SD⊥O8SD；且O4PA=O4QA=O4RB=O4SD，故O4为⊙O5、⊙O6、⊙O7、⊙O8的等幂点．
同理O1、O2、O3亦为⊙O5、⊙O6、⊙O7、⊙O8的等幂点，故⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4所在直线l为⊙O5、⊙O6、⊙O7、⊙O8的等幂轴．同理⊙O5、⊙O6、⊙O7、⊙O8所在直线l′亦为⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4的等幂轴．
（5）令M为完全四边形ABCDEF的密克点，设P′、Q′、R′为PAPB、QAQF、RBRF的中点，由习题21第17题及⊙O4与⊙O8的正交关系，有P′、Q′、R′、SD、S4、O4、O8七点共圆，且以O4O8为直径，故
∠Q′P′R′=∠Q′SDR′=∠SEC
又由复习题1第19、18题，有A、D、F、Q′、M与B、C、F、R′、M均污点共圆，且Q′A=Q′F=Q′QA、R′B=R′F=R′RB，有：
∠Q′MR′=∠FMQ′-∠FMR′=（180°-∠FAQ′）-（180°-∠FBR′）=
=
所以∠Q′P′R′=∠Q′MR′，故P′、Q′、R′共圆，即M在以O4O8为直径的圆上，所以∠O4MO8=90°．同理∠O1MO8=90°，故O4、M、O1共线，即M在直线l上，同理，M在之间l′上．
这种简单的题我连看都不想看
微笑向阳
