技巧名称：网
英文名称：Multi-Sector Locked sets (MSLS)
理解难度：★★★★★
观察难度：★★★★★
适用题目的SE难度范围（大致）：9.0---11.9
建议掌握的前置技能：链、ALS、连续环、鱼、sue de coq、SK-LOOP

本文介绍的技巧，是目前已被发现并总结的数独逻辑技巧中，最顶级的技巧之一。这个技巧英文名叫Multi-SectorLocked sets，简写为MSLS。标准的MSLS主体是一个矩阵，纵横相交。它的逻辑离不开链，但比链更加复杂，像是多条链交错，形成一张链网，所以我们习惯称这个方法为 “网”。网，是很多超难题初盘破题的关键；当然，在普通的骨灰题中，也有过运用的例子。
本文提纲：
一、标准网的定义、删数规则和运用
二、推理和证明
三、变型网
① 含宫links的网
② 呈现非矩形形态的网
③ links总数大于网格数的网
四、网在普通骨灰题中的灵活应用
五、标准网的直观方法

一、标准网的定义、删数规则和运用
首先我们以著名的“世界最难数独”为例，来综合看一下标准网的定义、删数规则和运用。这道题是芬兰数学家因卡拉所出，所谓“最难”只是噱头，标准数独中，逻辑解难度大大超过这道题的题目并不少见。但是，要想仅仅使用基础技巧和一些常用的进阶技巧来逻辑破解它，几乎是不可能的。这道题的SE难度为10.7，属于超难题范围，不过，如果在初盘就运用网的技巧，可直接破题出三个数，难度直降为9.0。以下简称“芬兰题”。
如下图，为“芬兰题”的初盘盘势。图中绿色标注的格子，即为“网”所涉及的格子，构成一个4X5的矩阵，共20格。

现在我们思考一下，如果要在行和列分别找出一些每格共有的数字（links），纵横交错，最后将所有20格全覆盖，那么是哪些数字呢？
如下图所示，列的links（蓝色）写在盘面上方；行的links（红色）写在盘面左方。并且相应的候选数上也标注了颜色。例如，r8c6这一格，被列links 249和行links 36完全覆盖。 r1c2这一格，被列links 24和行links 136完全覆盖（其中3没用到而已）。这样标注之后，所有的20格，都完全被这些links所覆盖。

这时请大家数一数，总共有多少个links？红色的行links总共10个，蓝色的列links总共10个，合计20 links。正好和这个网涉及的格子总数相等。这样的网，我们通常会记做：MSLS:20cells/20links。或MSLS: 20/20。
标准的网（MSLS）结构的定义和删数规则：
在所有links（包括行、列、宫）对网包含的所有格完成全覆盖的前提下，如果links总数等于网格总数，那么，标准网成立，可以删除links所在定义域中，网之外的格子中与links相同的候选数。
（对以上的删数规则，在本文第二部分中会介绍简单的推理和证明。）
所以，网这个结构的定义我们需要抓住两点：
1、links对网格全覆盖。
2、links总数等于网格总数。
以上定义中，涉及到两个词，links和定义域。Links从前面的叙述中，大家应该能理解。定义域的意思，举个例子说明一下。例如，上图第二列的“列links”24，定义域就是其所在的第二列。
在刚才的例子中，依据网的定义，行links和列links之和20恰好等于总格数20，标准网成立了。我们来看一下可以删哪些数。
如下图，以r1为例，行links是136，定义域是r1，所以，除了网包含的四格r1c2567之外，其他格子中，所有的136都可以删除。其他行列同理。最终，一下删除了23个候选数。此时，初盘最大的卡点已经破了。如果接下去解的话，不难发现，三宫出现了4579数组，可以轻松得到r3c8=8，r2c7=1，r3c13有5区块，一宫出现249和156数组，进而r3c4=4。

二、推理和证明
现在我们对标准网的定义和删数规则有了了解，并且也看到了如何运用。那么，为什么在links对格子完成全覆盖时，只要links数量等于格子数，就可以进行删数呢？
下面，我们还是以刚才的题目为例，做一个简单的推理。首先让大家肯定这些删数的正确；进一步再通过简单的数学式，来推导一下为何上述两个值相等是删数的关键。
以r1为例，来看蓝色的列links。大家想一下，在r1的网包含的四格中，至少要有几格，最终填入蓝色的列links？
显然，这四格中至少要有一个蓝色的列links为真。否则，如果所有蓝色都为假，那么这四格只剩136三个候选数，就违背了数独的基本规则。这是一个简单的ALS思想，相信大家可以理解。
以此类推，在网所包含的20格中，蓝色的列links，总共至少有几真？
R1：1真。R2：2真。R6：2真。R7：3真。R8：2真。
以上合计，蓝色的列links，在网所包含的20格中，总共至少要有10个为真。
请注意，蓝色列links总数就10个。也就是说，要想凑够10真，在网包含的20格中，每个列links数都要出现。例如c2r12678这五格中，2和4都要出现，才能凑够2真；再如c6 r12678这五格，249都要出现，才能凑够3真。其他列同理，如此总共才能凑够10真，刚好达到上述的“至少10真”的推论。这样，很显然，在c2中，网之外的其他格子的24都可以删掉，又如c6，网之外其他格子的249都可以删掉。其他列同理。
同理，我们可以对红色的行links进行推理，来确定红色删数的正确性。事实上，只要行的规则成立，列的规则自然而然就成立了。此处不再赘述。
现在我们对网的删数规则背后的推理过程有了大概的了解。回到刚才的问题，为何刚好links总数等于网包含的格子总数时，删数规则才成立呢？
以一个标准的矩形网为例。设其横向占a格，纵向占b格。网格总数为a*b。在行列links对网格共同完成全覆盖的前提下，设列links总数为x，行links总数为y。
想想刚才推理的过程，以列links为例，列删数规则成立的根源是，“至少为真”的数量，等同于列links总数。那么至少为真的数量又是多少呢？由ALS的思想可以得知，蓝色的列links至少有几个为真，是为了确保红色的行links在这行中“数量够用”。如果某一行links总数为y1，则此行中对应的蓝色的列links至少为真的数量就是a-y1。而总共有b行，所以，蓝色的列links至少为真的总数就是(a-y1)+(a-y2)+…(a-yb)=a*b-y。
现在，当列links至少为真的总数量a*b-y，等于列links总数x时，网的列删数规则成立。即，a*b-y=x，即：
x+y=a*b
这个式子的意义就是，所有links总数等于网格总数。

三、变型网
除了标准的网，还有很多变型种类的网。以下简单介绍三种常见类型，即，含宫links的网、呈现非矩形形态的网、links总数大于网格数的网。
①含宫links的网：
类似鱼类技巧那样，网的links定义域也可以含有宫。下面看一个例子：
题目来源于奕数独#2435。下图是此题的初盘，涂色的格子是一个占16格的网。我们来看一下links总数：蓝色的列links共8个，红色的行links共7个，总共才15个。但是，仅靠行列links并不能对16个网格完成“全覆盖”，三宫还有四个网格带有候选数5。此时，增加一个5做为宫link（图中以紫色标识），刚好可以完成全覆盖，并且links总数刚好达到16，等同于网格总数。于是，网的删数规则就成立了。总共可以合理删掉20个候选数，大家可以自己试着练习一下。值得一提的是，刚好这题第三宫里，网格之外没有其他的候选数5了。如果有，也可以通过宫links的删数规则进行删除。

含宫links的网的推理过程与标准的网同理，此处不再赘述。
②呈现非矩形形态的网
前面提到的例子中的网，都是矩形形态的。事实上，有很多网并非矩形形态。下面看一个稍稍有所变化的例子。如图所示，MSLS: 21/21。与之前例子的矩形形态相比，多出了r5c5这格。不过，links总数21仍然等于网格总数21，并且完成了全覆盖，所以，网的删数规则成立。这一例和标准网相比，变化不大，大家可以自行寻找一下links和删数。

至此我们应该可以体会到，网的关键不在其形态是否矩形，而在其links是否全覆盖网格，以及links总数是否等于网格总数。比如，本文最初所举的“芬兰题”的例子，还可以有另一种形态的网来观察，可以造成一模一样的删数，如下图所示。

图中，行列宫links分别以蓝红紫标注，删数也是对于的颜色标注，大家可以体会一下。细心的读者可能会发现，这张图的删数比本文最初那个矩形的网的删数要多出几个来，这是怎么回事呢？事实上，如果把二者直接删数之后，产生的区块、数对、数组等基础摒除类技巧的删数都算上，就一模一样了。
③links总数大于网格数的网
我们知道，在全覆盖的前提下，当links总数等于网格总数，网的删数规则成立。那么如果二者不等呢？
事实上，在一个标准数独的合理盘势中，是不可能出现Links总数小于网格总数的情况的。如果出现这种情况，那一定是错盘，在网格内部就会出现无解的局面。这个推论，可以用类似本文第二部分中的思路来推理得到；也可以用标准网的删数规则反推得到，这里不赘述之。
我们讨论的情况，是links总数大于网格总数的情况。例如，一个16格、17links的网，记做ALMOST MSLS:16/17。通常，我们习惯吧二者相等的网，简称为“0网”，而links总数比网格总数大1的，叫+1网，以此类推。
下图题目来源为奕数独#2401。图为ALMOST MSLS: 16/17。是一个+1网。为了叙述简洁，我们把这类网的links所在定义域的网格之外的格中与links相同的候选数，称为“预备删数”。换句话说，预备删数就是，把这类网强行当做标准网来看，按标准网的删数规则所能删的那些候选数。下图的预备删数我分别用红蓝的横线给出了标注。而黑色横线是这些预备删数产生的数组造成的删数。

试想，如果这些预备删数中，假设其中任意一个为真，会有什么结果？相应的links就会被消减掉一个，links总数也会消减一个，网会由+1网变为标准的0网，除了这个假设为真的预备删数之外，其他预备删数都可以删除。换言之：
对+1的网而言，所有预备删数之间都是弱链关系。
或者说：
任意两个links区块之间构成强链。
那么这条规则怎么运用呢？看刚才的例子，如果圈出来的这些预备删数，任意一个为真，就会导致七八九宫其他标出的预备删数为假。进而，观察第七行和第八行，数字127全部被挤进六个黄格中，构成一个六格的唯一矩阵的致命形态，产生矛盾。所以，圈出的数字不能为真，所有圈出的数字都可以删除。

对于+1的网，任意两个相同的link，在网格之外，这两个相同link的共同作用格可删除与此link相同的候选数。
例如，一个+1网，有行link(7)，又有列link(7)，那么，观察二者在网格之外的交叉格，这格的7可以删除。具体的例子，可参考本文最后一部分的第二例。

四、网在普通骨灰题中的灵活应用
以上的例子，大部分都是难度10以上的超难题。那么在普通的骨灰题中，是否能够运用网的技巧呢？答案是肯定的。事实上，从理论的角度来说，几乎所有的当前的数独技巧，都可以用网来解释。例如，连续环、SK-LOOP等环类技巧，可以很直观地用网解释；哪怕是XY-WING这种AIC类技巧，也可以用+1的网来解释其删数规则。
当然，这样的解释仅限于理论层面，在实战中是没有太大意义的。经验表明，普通骨灰题中出现的网，大部分是替代了一些ALS-CHAINS的技巧。用网观察的好处就是不易漏删，不像ALS-CHAINS那样，仅从一个角度观察，很容易忽视别的删数。下面我们来看两个例子。
如下图，标准的网，MSLS: 8/8。可以造成四个删数，大家可以按照前文所述的标准网的删数规则自行推导一下。这个网替代了什么技巧呢？如果我们用ALS-CHAINS来删这四个数，需要用四个不同的链，全都找到是非常困难的；或者，用一次连续环，但需要带异数弱链而且是双值节点的弱链，观察起来也十分别扭。而熟练掌握网的技巧之后，也许最初不能直接观察到网，但是一旦找到其中一个ALS-CHAINS，就可以敏锐地捕捉到首尾成环的感觉，从而找到网，避免漏删。

再如下图，ALMOST MSLS:9/10，属于+1的网。大家看到，第八行的link(7)和九宫的link(7)在网格外共同作用格r8c78的7都可删除。因为如果这两个7任意一个为真，都会导致这个网一次失去两个link(7)，网变成9/8，links总数小于网格总数，产生矛盾。

接下来，如果更加灵活运用，可以如下所示：

还是9/10的+1网，预备删数已用红蓝横杠标出。假设图中红蓝方框的几个预备删数中，任意一个为真，网会变成9/9的0网，其他的预备删数全部删除，直观可得黑色方框的数字为真，此时，第二行的link(2)会被黑框数消除，网进一步退化成9/8，links总数小于网格总数，产生矛盾。所以，所有红蓝方框的数字都可以被删除。
可能有读者会感觉，最后这招直推很多，显得非常暴力。不过我个人认为，判断一个方法是否实用的标准，并不仅仅是去看它是否暴力。如果我们采用一个一个数试误的方式来删最后这张图的5个删数，犹如无头苍蝇，几乎不可能全都找到；而利用网的思路，辅以少量直推，即可一次性完成5个删数。这不正体现出灵活运用网这个方法的强大作用吗？

五、标准网的直观方法
以上介绍的各种形式的网，有一个共同点，就是都需要全标候选数辅助来观察。然而，实际我们拿到一道超难题，有时是没有候选数标注的。那么在这种情况下，是否可以直观到网呢？答案是可以的。这里仍然以“芬兰题”为例，对4X5的20/20标准网的直观方法做一个简单介绍。
将盘面的已知数分为两种颜色，分别占四种数和五种数。如图，分为1368和24579。注意，r8c4的已知数5没有涂色，并非遗漏。看下一步就知道为什么了。

现在，红色纵向划线，蓝色横向划线，注意，需保证交叉点全是空格（上一步如果把r8c4的5也涂色，就不能保证这一点了）。当然，红色横向、蓝色纵向也可以，那就是等价的另一个网。

上图中，交叉点有20个，全都位于空格；所涉及的红蓝已知数总数也是20。此时，网的删数规则成立。
删数规则：交叉点除外，蓝线上删所有蓝数，红线上删所有红数。例如，r6c1这格，不是交叉点，是蓝线，就删1368。而r6c2这格，是交叉点，就不能删了。继而，观察第三宫，很快能删除圆圈内的1368，锁定1368数组的位置，直观出数8。

上述直观方法，需要满足的条件是：
①交叉点全在空白。
②设分成的两组颜色，分别占X种数和Y个数，且X占a行，Y占b列。所有涂色的数字总数为Z。于是，交叉点的数量为ab。那么，需要保证：
Xa+Yb-Z=ab
在上面的例子里，X=5, a=4, Y=4,b=5, Z=20。代入等式成立。
论证过程也不复杂。这个公式的左边，Xa+Yb-Z, 其实就是link总数。而等式右边ab就是网格总数。有兴趣可以对照前文的候选数模式推算一下。此处不再赘述。

。今天这篇文章，只是一个简单、大概地介绍，希望能够帮助大家搞懂什么是网，如何运用网。至于在实战中灵活使用，还是需要多多的观察练习。对于这个技巧，我们越是钻得深，越是发现还有更多未知之处值得挖掘。在学习几种顶级技巧的路上，离不开各位老师和朋友的帮助、讨论。最后，希望喜欢研究数独技巧的朋友能越来越多！

前排

座椅

法网恢恢疏而不漏，毫无道理的征集下联，

学习了，感谢！

这么好的文章，刚刚看到，学习了