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第一次数学危机
第一次数学危机还是要从“万物皆数”的教义说起，毕达格拉斯学派认为一切事物都可以归结为整数与整数之比，也就是“可公度的”或是“可度量的”，用现在的观点来说，其实当时只是他们仅仅认识到有理数的存在。
据说在公元前470年左右，毕达格拉斯学派的小成员希帕索斯发现并证明了边长为1的正方形的对角线不能表示为整数与整数之比。其实按照现在的说法，也就是他发现了根号2不是有理数。但在当时这是不能说的秘密！因为一旦泄露，整个学派乃至整个希腊的世界观都会崩塌，之前的所有结论和成果都会被推翻，可以说这已经撼动了整个数学大厦的地基！后来希帕索斯本人还是把这个秘密泄露了出去，结果就是从船上被人扔到海里，葬身鱼腹。当然历史不会因为希帕索斯的死而停止，后来人们认识到根号2、根号3等这样“不可公度的”数大量存在，也就开始了无理数乃至整个数学体系的重新研究，最后由欧多克索斯定义了无理数并建立了以明确公理为依据的演绎体系才读过这次危机，但是毕达哥拉斯学派却永远消失在历史的尘埃了。
希帕索斯的死消灭了毕达格拉斯学派，正如布鲁诺的死消灭地心说。
遇到危机，不回避，不敷衍，才能真正解决问题，否则等到的只能是毁灭。
第一次数学危机还是要从“万物皆数”的教义说起，毕达格拉斯学派认为一切事物都可以归结为整数与整数之比，也就是“可公度的”或是“可度量的”，用现在的观点来说，其实当时只是他们仅仅认识到有理数的存在。
据说在公元前470年左右，毕达格拉斯学派的小成员希帕索斯发现并证明了边长为1的正方形的对角线不能表示为整数与整数之比。其实按照现在的说法，也就是他发现了根号2不是有理数。但在当时这是不能说的秘密！因为一旦泄露，整个学派乃至整个希腊的世界观都会崩塌，之前的所有结论和成果都会被推翻，可以说这已经撼动了整个数学大厦的地基！后来希帕索斯本人还是把这个秘密泄露了出去，结果就是从船上被人扔到海里，葬身鱼腹。当然历史不会因为希帕索斯的死而停止，后来人们认识到根号2、根号3等这样“不可公度的”数大量存在，也就开始了无理数乃至整个数学体系的重新研究，最后由欧多克索斯定义了无理数并建立了以明确公理为依据的演绎体系才读过这次危机，但是毕达哥拉斯学派却永远消失在历史的尘埃了。
希帕索斯的死消灭了毕达格拉斯学派，正如布鲁诺的死消灭地心说。
遇到危机，不回避，不敷衍，才能真正解决问题，否则等到的只能是毁灭。
第二次数学危机
如果用最简单的数学来描述，也估计只有高三党看得懂了。在牛顿和莱布尼茨创立微积分后，在极限理论里面，我们知道当△x趋向于0，即△x→0 时，（△x）的平方→0。那好，△x趋向于0是什么意思？△x→0是△x=0的意思吗？看结果好像是，但如果是，那当△x趋向于0，即△x→0 时，1/（△x）应该趋向于多少？1/0吗？0可是不能做分母的啊？
估计现在大部分人已经在骂什么鬼了！放心，咱们可以用一个生动的例子来说明，从前在古希腊有个大英雄叫阿基里斯。他和乌龟赛跑，不过乌龟比他先出发走一段距离后他才出发。古希腊的芝诺认为阿基里斯永远追不上乌龟。因为阿基里斯要追上乌龟，首先必须到达乌龟原来的起跑点。可他跑到乌龟的起跑点需要一定时间，因而当他跑到乌龟的起跑点时，乌龟已经前进了一段路了，于是他又必须花一定的时间赶到乌龟的新的所在的点。而当他赶到乌龟新的所在的点时，乌龟又已经前进了一段路了。因而如此下去，阿基里斯永远也追不上乌龟。但是事实上，人和龟赛跑很轻易就赢了，这不就矛盾了吗？这就是著名的芝诺悖论。可以说，第二次数学危机就是说这事儿咋办吧？
那这次危机怎么解决呢？这就是大学数学的东西啦，简单来说，以柯西为首的一大帮数学家按常理出牌，他们才不跟你绕圈圈，跳出这个框框，重新对极限作出定义，创造新的极限理论。
遇到危机，别被人牵着走，跳出定势，另辟蹊径解决问题。
如果用最简单的数学来描述，也估计只有高三党看得懂了。在牛顿和莱布尼茨创立微积分后，在极限理论里面，我们知道当△x趋向于0，即△x→0 时，（△x）的平方→0。那好，△x趋向于0是什么意思？△x→0是△x=0的意思吗？看结果好像是，但如果是，那当△x趋向于0，即△x→0 时，1/（△x）应该趋向于多少？1/0吗？0可是不能做分母的啊？
估计现在大部分人已经在骂什么鬼了！放心，咱们可以用一个生动的例子来说明，从前在古希腊有个大英雄叫阿基里斯。他和乌龟赛跑，不过乌龟比他先出发走一段距离后他才出发。古希腊的芝诺认为阿基里斯永远追不上乌龟。因为阿基里斯要追上乌龟，首先必须到达乌龟原来的起跑点。可他跑到乌龟的起跑点需要一定时间，因而当他跑到乌龟的起跑点时，乌龟已经前进了一段路了，于是他又必须花一定的时间赶到乌龟的新的所在的点。而当他赶到乌龟新的所在的点时，乌龟又已经前进了一段路了。因而如此下去，阿基里斯永远也追不上乌龟。但是事实上，人和龟赛跑很轻易就赢了，这不就矛盾了吗？这就是著名的芝诺悖论。可以说，第二次数学危机就是说这事儿咋办吧？
那这次危机怎么解决呢？这就是大学数学的东西啦，简单来说，以柯西为首的一大帮数学家按常理出牌，他们才不跟你绕圈圈，跳出这个框框，重新对极限作出定义，创造新的极限理论。
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第三次数学危机
这个也只有数学专业的人才知道了，数学表述我就不说了，一样举个例子吧。假设有个傲娇的理发师老王，老王说：“我将为所有不给自己刮胡子的人刮胡子，我也只给这些人刮胡子。”那么问题来了，老王要不要给自己刮胡子呢？如果他不给自己刮胡子，他就属于“不给自己刮胡子的人”，他就要给自己刮胡子，而如果他给自己刮胡子呢？他又属于“给自己刮胡子的人”，他就不该给自己刮胡子。这就是赫赫有名的罗素理发师悖论，也是对第三次数学危机最形象的概括。
这一次数学危机直到20世纪才得以突破，数学家们提出了选择公理来解决这个问题，可是遗憾的是至今无人能保证选择公理是对的还是错的。这是不是很讽刺？自诩严谨无暇的数学在最基础的领域竟然无法自圆其说。庞加莱打过一个比方，“为了防备狼，羊群已经用篱笆圈了起来，但却不知道圈内有没有狼”。
后来人们发现，其实不用太较真，数学本质上是要用于生产，服务余世界的。所以对于选择公理，你承认也好，不承认也好，都不影响。承认了选择公理，自然发展出ZF公理系统，不承认则发展出NBG公理系统。这其实就是大学里面实变函数与泛函分析的产生与发展。
遇到危机，不忘初心，实用至上，才能化解危机。
这个也只有数学专业的人才知道了，数学表述我就不说了，一样举个例子吧。假设有个傲娇的理发师老王，老王说：“我将为所有不给自己刮胡子的人刮胡子，我也只给这些人刮胡子。”那么问题来了，老王要不要给自己刮胡子呢？如果他不给自己刮胡子，他就属于“不给自己刮胡子的人”，他就要给自己刮胡子，而如果他给自己刮胡子呢？他又属于“给自己刮胡子的人”，他就不该给自己刮胡子。这就是赫赫有名的罗素理发师悖论，也是对第三次数学危机最形象的概括。
这一次数学危机直到20世纪才得以突破，数学家们提出了选择公理来解决这个问题，可是遗憾的是至今无人能保证选择公理是对的还是错的。这是不是很讽刺？自诩严谨无暇的数学在最基础的领域竟然无法自圆其说。庞加莱打过一个比方，“为了防备狼，羊群已经用篱笆圈了起来，但却不知道圈内有没有狼”。
后来人们发现，其实不用太较真，数学本质上是要用于生产，服务余世界的。所以对于选择公理，你承认也好，不承认也好，都不影响。承认了选择公理，自然发展出ZF公理系统，不承认则发展出NBG公理系统。这其实就是大学里面实变函数与泛函分析的产生与发展。
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