解法一：
　
　　设老鼠的游泳速度为ｘ（m/s）；老鼠从圆心处开始沿着背向猫的一条半径往岸边游。老鼠需要游过的路程是50米，所花的时间是50/x；猫需要跑过的路程是50π米，所花的时间是50π/10；列不等式：
　
　　　　50/x＜50π/10　，
　
　　解不等式，得：ｘ＞10/π＝3.18（m/s）。
　　老鼠游泳速度至少要快于3.18（m/s），才能安全逃上岸。
　
　　这肯定不是最好的答案。老鼠的游泳速度还可以比3.18（m/s）更小。

解法一附图�

4楼的解法是第二方案。特补充作图加以说明：
　
解法二：
　
　　老鼠从圆心开始，先游到适当的半径r处，以半径r绕着圆心做圆周运动，使老鼠绕小圆一周所花的时间等于猫绕大圆（水池岸上）一周所花的时间，这样就可以保证在某个时刻和猫的距离为50+r（当然，不一定要做整个圆周运动，只要绕着圆心就行）。列方程：
　
　　　　　rπ/x=50π/10 .
　
　　然后，老鼠从Ｃ点径直往岸边的Ａ点游，力争先于猫到达Ａ点．列不等式：
　
　　　　　(50-r)/x＜50π/10 

　　联立二式解得：x＜10/(π+1)≈2.4145（m/s）
 
 还有比这更小速度的方案.
附图:

回答14楼：方案二肯定不是最优解。
　
解法三：
　
　　老鼠从圆心开始，先游到适当的半径r处，以半径r绕着圆心做圆周运动，使老鼠绕小圆一周所花的时间等于猫绕大圆（水池岸上）一周所花的时间，这样就可以保证在某个时刻和猫的距离为50+r.列方程： 
　 
　　　　　rπ/x=50π/10 . 
　 
　　然后，老鼠从Ｃ点不再是径直往岸边的Ａ点游，而是沿小圆的切线往岸边的Ｄ点游（当然要看猫跑的方向），力争先于猫到达Ｄ点。可知ＣＤ线段长为：√(R^2-r^2)；ＣＤ弧长为：arccos((√R^2-r^2)/R)。列不等式： 
　 
　　　　　(50^2-r^2)/x＜50(π+arccos(√(50^2-r^2)/50)/10. 

　　联立二式即可解得x的值。但是我不会解，因为它包含有反三角函数。有人用数值解法解出，老鼠的速度为ｘ＞2.1723m/s。

　　不用担心猫会转方向，因为猫和老鼠之间的距离在缩短，猫改变方向只会更有利于老鼠。

　　可以肯定，这个答案还不是最优的。
 
　　我在8楼的不等到号写反了，谢谢9楼朋友的指正！

楼上有几处的符号打错了，重发一次：
　
解法三： 
　 
　　老鼠从圆心开始，先游到适当的半径r处，以半径r绕着圆心做圆周运动，使老鼠绕小圆一周所花的时间等于猫绕大圆（水池岸上）一周所花的时间，这样就可以保证在某个时刻和猫的距离为50+r.列方程： 
　 
　　　　　rπ/x=50π/10 . 
　 
　　然后，老鼠从Ｃ点不再是径直往岸边的Ａ点游，而是沿小圆的切线往岸边的Ｄ点游（当然要看猫跑的方向），力争先于猫到达Ｄ点。可知ＣＤ线段长为：√(R^2-r^2)；ＣＤ弧长为：arccos(√(R^2-r^2)/R)。列不等式： 
　 
　　　　　√(50^2-r^2)/x＜50(π+arccos(√(50^2-r^2)/50)/10. 

　　联立二式即可解得x的值。但是我不会解，因为它包含有反三角函数。有人用数值解法解出，老鼠的速度为ｘ＞2.1723m/s。

　
　　我在发此帖时，也有７楼、１３楼朋友相近的思路：“我只知道这段曲线一端与(50-r)相切，另一端与上岸那个点的半径相切，如果是曲线的话。”“对于最优解，我唯一的想法是轨迹和上岸时那个点所在的直径相切。”今天经过认真思考，却发现这个想法是错误的！
　　今晚经过反复思考，我猛然发现，解法三居然就是最佳方案！！！
　　证明过程有待整理。

　
回答24楼：
　　你说：“猫可以反向跑”。但是，别忘了：老鼠也可以反向游。只不过老鼠不是原路返回，而是转过一个方向，继续往岸边游。
　　请看解法二和解法三的前半部分：老鼠从圆心开始，先游到适当的半径r处，以半径r绕着圆心做圆周运动，使老鼠绕小圆一周所花的时间等于猫绕大圆（水池岸上）一周所花的时间，即rπ/x=50π/10。此时，猫和老鼠的角速度相等。也就是说，在相同的时间内，猫和老鼠围绕圆心转过的角度相等，两者相对所夹的圆心角始终为180度保持不变。此时，若猫反向跑，老鼠也可以反向游，两者相对所夹的圆心角始终为180度保持不变。这时，老鼠离岸边的距离为50-r。
　　如果老鼠在某一时候，不再作圆周运动，而是沿小圆的切线方向从Ｃ点往Ｄ点游，此时，因为老鼠的旋转半径增大，而且运动方向与圆周产生一定夹角，因此，老鼠此时的角速度小于猫的角速度，猫和老鼠之间所夹的圆心角（猫追赶老鼠方向的圆心角，即图左边ＢＡ弧）在减小，也就是说，猫和老鼠之间的距离在缩短。
　　如图：当老鼠沿切线ＣＤ方向游到某一点Ｆ时（注意：这个Ｆ点哪怕是游出Ｃ点一点点），老鼠游过的圆心角为∠COF（即∠COI），而猫此时的角速度大于老鼠的角速度，那么猫跑过的圆心角∠BOG就会大于∠COI。此时，猫和老鼠之间的圆心角∠GOI就小于180度。所以说，“不用担心猫会转方向，因为猫和老鼠之间的距离在缩短，猫改变方向只会更有利于老鼠。”
　　如果猫硬要一意孤行，掉转方向往回跑。那么，当猫跑到与Ｆ点相对于圆心的Ｈ点时，老鼠也可以改变方向（但不是原路返回），以ＯＩ为对称轴，沿ＦＤ的对称线ＦＩ往岸边游。
　　不知我说清楚了没有？

楼上打错一字，最后一段更改如下：
　　　　如果猫硬要一意孤行，掉转方向往回跑。那么，当猫跑到与Ｆ点相对于圆心的Ｈ点时，老鼠也可以改变方向（但不是原路返回），以ＯＩ为对称轴，沿ＦＤ的对称线ＦＥ往岸边游�

　
　　有兴趣的朋友可以看看我在“精典概率驳论”http://tieba.baidu.com/f?kz=216854909中的解题思路，欢迎讨论�

　
　　在http://tieba.baidu.com/f?kz=216854909的58楼。那是我在“思维定势吧”的首次发帖�

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