百度百科说原根一般都不大，我的这个猜想是说，最小原根都可以很大，要多大有多大！

目前我见过的是：素数89637484042681，它的最小原根是335.

类似的有个阿廷猜想，是这样的：
对于任意不等于1、p-1及完全平方的正整数α，必定存在无穷多个素数p，以α为原根。
【来源：http://baike.soso.com/v6723499.htm】
我猜的略有不同，我猜的是存在无穷多个素数p，以α为最小原根，即这些素数都没有比α更小的原根了。

当n稍微大一点时，对应的p会相当大。
看上去证明的难度也极大。

我相信你的猜想是正确的.我还认为证明虽然不容易给出,但不会很深奥.
在4000以下的素数中,17之内不是k次方数的n除了12之外都是原根.我估计10000以下的素数应该有以12为原根的.如果把10000以下的素数都查过没有发现以12为原根,则你的猜想的第一问就可能不对.

已发现12是17的原根,只不过不是最小原根.但我已确信12必定是某个稍大一点的素数的最小原根,只是我没有这方面的资料而已.

把9-11楼（并删除）合并一下：
在奇素数p的剩余系中，p整除n^(p-1)-1，n称为p的素剩余（n与p互素），他们是(1,2,3…n-1)mod (p).
我们可以把奇素数的素剩余可以分成很多类型,如原根.非原根
其实,立方数、奇次方数也可以做原根的,如8,当然了,8是原根时,必然有更小的原根2.
在这里,我们把素剩余分成2类:
(1)当n符合p整除n^[(p-1)/2]-1时,我们称之为范根(类似高斯范数的根)
(2)当n不符合p整除n^[(p-1)/2]-1时,我们称之为孤根
如p=7时,
n=1,2,4，8,9,11，15,16,18，22,23,25，29,30,32，36,37,39等都是范根,
n=3,5,6，10,12,13，17,19,20，24,26,27，31,33,34，38,40,41等都是孤根,
可以证明：两个范根之积是范根，两个孤根之积也是范根；而孤根与范根之积是孤根。
所有平方数都属于范根，所有原根都属于孤根。
现在，我们取出1个数，如6，我们知道6=2*3，假如6是最小原根且是孤根，那么2,3之一是范根，另一个是孤根且又不是原根，那么p-1必定是4的倍数且p-1必包含2以外的因子，
那么，我们得到一个结论，以2质数积为最小原根的p应符合三者条件之一：
（1）p-1是4的倍数且至少有一个奇素数因子
（2）p-1至少有2个不同的奇素数因子
（3）p-1至少有一个奇素数的立方因子

上述内容发不了，只好贴图