求证:任意2个正整数相等
证明:
定义:对于两个不等正整数a,b,max(a,b)为a,b中较大的一个;若a=b,则令max(a,b)=a=b
现在令命题A(n)为如下命题:"若a,b是使max(a,b)=n的2个任意正整数,则a=b"(ps.其实应该是A下标n的,不过没有下标就打括号了)
证:假设A(r)成立
设a,b是两个任意正整数使得max(a,b)=r+1,考虑这样两个整数
α=a-1
β=b-1
则max(α,β)=r,又由于假设A(r)成立,所以α=β,由此a=b,因此A(r+1)成立
A(1)显然成立,因为若max(a,b)=1,则由于假设a,b是正整数,所以a=b=1.
由此,按数学归纳法,A(n)对任意n均成立
现在如果有任意两个正整数a,b,用r表示max(a,b),由于已证对任意n,A(n)成立,特别是A(r)成立,因此a=b